diff --git a/docs/math/analysis/measure-theory.md b/docs/math/analysis/measure-theory.md new file mode 100644 index 0000000..979fad2 --- /dev/null +++ b/docs/math/analysis/measure-theory.md @@ -0,0 +1,76 @@ +# 测度论 + +## 不可测集的构造 + +在承认 AoC (Axiom of Choice) 的情况下,我们可以构造出不可测集: + +在 $[0,1]$ 上构造这样一组等价关系: + +$$ +x \sim y \Leftrightarrow x - y \in \mathbb{Q} +$$ + +在这组等价关系的划分下:$\mathcal{A} = [0,1]/\sim$ 被分成了不可数个等价类,他们两两不交: + +$$ +[0,1] = \bigcup_{\alpha} \mathcal{E}_{\alpha} +$$ + +接下来我们构造 $\mathcal{N}$, 根据 AoC, 总存在一个 $f: \mathcal{A} \to [0,1]$, 在每个 $\mathcal{E}_{\alpha}$ 中选取一个代表元素,使得 $f$ 是一个双射,也就是说: + +$$ +\mathcal{N} = f(\mathcal{A}) +$$ + +**我们证明 $\mathcal{N}$ 是不可测集:** + +考虑反证,假设 $\mathcal{N}$ 是可测集,令 $\{r_k\}_{k=1}^{\infty}$, 是 $[-1,1]$ 上所有有理数的一个排列。(由于 $\mathbb{Q}$ 是可数集,这样的排列总是存在的), 然后考虑平移变换: + +$$ +\mathcal{N}_k = \mathcal{N} + r_k +$$ + +!!! note + + $$ + \forall k_1 \neq k_2, \quad \mathcal{N}_{k_1} \cap \mathcal{N}_{k_2} = \emptyset + $$ + + Proof by contradiction. Suppose $\exists x \in \mathcal{N}_{k_1} \cap \mathcal{N}_{k_2}$, then we have: + + $$ + \exists r_{k_1}, r_{k_2} \in \mathbb{Q},\quad x_\alpha, x_\beta \in \mathcal{N} \\ + x = x_{\alpha} + r_{k_1} = x_{\beta} + r_{k_2} \quad\Rightarrow\quad x_{\alpha} - x_{\beta} = r_{k_2} - r_{k_1} \in \mathbb{Q} + $$ + +在这样的平移变换下,我们注意到: + +- $\displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty} \mathcal{N}_k \subset [-1,2]$. 这是容易注意到的。 +- $\displaystyle [0,1] \subset \bigcup_{k=1}^{\infty} \mathcal{N}_k$ + + 证明需要重新回顾 $\mathcal{N}$ 的构造方式。对于每个 $x\in [0,1]$, 它总是在一个等价类 $\mathcal{E}_\alpha \in \mathcal{A}$ 中的,也总有一个代表元在 $\mathcal{N}$ 中,aka: + + $$ + \overline{x} = f(\mathcal{E}_\alpha) \in \mathcal{N} + $$ + + 满足 $x \sim \overline{x} \Rightarrow x - \overline{x} \in \mathbb{Q}$, 也就是说 $x \in \mathcal{N} + r_k$. $\quad \square$ + +因此 $\displaystyle [0,1] \subset \bigcup_{k=1}^{\infty} \mathcal{N}_k \subset [-1,2]$. 有: + +$$ +1 \leq m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} \mathcal{N}_k\right) \leq 3 +$$ + +考虑反证假设,若 $\mathcal{N}$ 是可测集,那么 $\mathcal{N}_k$ 也是可测集,有: + +$$ +1 \leq m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} \mathcal{N}_k\right) = \sum_{k=1}^{\infty} m(\mathcal{N}_k) \leq 3 +$$ + +这是不可能的,考虑到 $\forall k, \ \ m(\mathcal{N}_k) = m(\mathcal{N})$. 对于以下两种情况都不能满足这个不等式: + +- $m(\mathcal{N}) = 0$ +- $m(\mathcal{N}) > 0$ + +得到矛盾,所以 $\mathcal{N}$ 是不可测集。$\quad \square$ diff --git a/mkdocs.yml b/mkdocs.yml index 18a0b33..dbc7014 100644 --- a/mkdocs.yml +++ b/mkdocs.yml @@ -36,6 +36,7 @@ nav: - math/analysis/calculus.md - math/analysis/fourier.md - math/analysis/functional-analysis.md + - math/analysis/measure-theory.md - Probability: - math/probability/probability.md - math/probability/stochastic-processes.md