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808.分汤

难度：中等

题目

有 A 和 B 两种类型 的汤。一开始每种类型的汤有 n 毫升。有四种分配操作：

1. 提供 100ml 的 汤A 和 0ml 的 汤B 。
2. 提供 75ml 的 汤A 和 25ml 的 汤B 。
3. 提供 50ml 的 汤A 和 50ml 的 汤B 。
4. 提供 25ml 的 汤A 和 75ml 的 汤B 。

当我们把汤分配给某人之后，汤就没有了。每个回合，我们将从四种概率同为 0.25 的操作中进行分配选择。如果汤的剩余量不足以完成某次操作，我们将尽可能分配。当两种类型的汤都分配完时，停止操作。

注意 不存在先分配 100 ml 汤B 的操作。

需要返回的值： 汤A 先分配完的概率 +  汤A和汤B 同时分配完的概率 / 2。返回值在正确答案 10-5 的范围内将被认为是正确的。

示例

示例 1:

输入: n = 50
输出: 0.62500
解释:如果我们选择前两个操作，A 首先将变为空。
对于第三个操作，A 和 B 会同时变为空。
对于第四个操作，B 首先将变为空。
所以 A 变为空的总概率加上 A 和 B 同时变为空的概率的一半是 0.25 *(1 + 1 + 0.5 + 0)= 0.625。

示例 2:

输入: n = 100
输出: 0.71875

提示: 0 <= n <= 109​​​​​​​

题解

/**
 * @description: 动态规划 时间复杂度 O(C^2) 空间复杂度 O(C^2)
 * @return {*}
 * @param {number} n
 */
export function soupServings(n: number): number {
  n = Math.ceil(n / 25)
  if (n > 179) return 1
  const dp: number[][] = new Array(n + 1).fill(0).map(() => new Array(n + 1).fill(0))
  dp[0][0] = 0.5
  for (let i = 1; i <= n; i++) dp[0][i] = 1
  for (let i = 1; i <= n; i++) {
    for (let j = 1; j <= n; j++) {
      dp[i][j] = (
        dp[Math.max(0, i - 4)][j]
        + dp[Math.max(0, i - 3)][Math.max(0, j - 1)]
        + dp[Math.max(0, i - 2)][Math.max(0, j - 2)]
        + dp[Math.max(0, i - 1)][Math.max(0, j - 3)]
      ) / 4
    }
  }
  return dp[n][n]
}

/**
 * @description: 记忆化搜索 时间复杂度 O(C^2) 空间复杂度 O(C^2)
 * @return {*}
 * @param {number} n
 */
export function soupServings1(n: number): number {
  n = Math.ceil(n / 25)
  if (n > 179) return 1
  const memo: number[][] = new Array(n + 1).fill(0).map(() => new Array(n + 1).fill(0))
  return dfs(n, n)
  function dfs(n: number, m: number): number {
    if (n <= 0 && m <= 0) return 0.5
    if (n <= 0) return 1
    if (m <= 0) return 0
    if (!memo[n][m])
      memo[n][m] = (dfs(n - 4, m) + dfs(n - 3, m - 1) + dfs(n - 2, m - 2) + dfs(n - 1, m - 3)) / 4
    return memo[n][m]
  }
}