Sissejuhatus_algebra.tex

\documentclass[12pt]{report}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{enumerate}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage{color}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{float}
\usepackage{theoremref}

\setlength\parindent{0pt}

\definecolor{background_example}{HTML}{EDEDED}

\numberwithin{equation}{section}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{tyyp}[equation]{Definitsioon}
\newtheorem{omega_algebra}[equation]{Definitsioon}
\newtheorem{homomorfism}[equation]{Definitsioon}
\newtheorem{emorf}[equation]{Definitsioon}
\newtheorem{isomorfism}[equation]{Definitsioon}
\newtheorem{isomorfsus}[equation]{Definitsioon}
\newtheorem{automorfism}[equation]{Definitsioon}
\newtheorem{alamalgebra}[equation]{Definitsioon}
% II loeng
\newtheorem{kongruents}[equation]{Definitsioon}
\newtheorem{faktoralgebra_kongruensti_jargi}[equation]{Definitsioon}
\newtheorem{tuum}[equation]{Definitsioon}
% III loeng
\newtheorem{lihtne_algebra}[equation]{Definitsioon}
\newtheorem{korvalklass}[equation]{Definitsioon}
\newtheorem{normaalne_alamryhm}[equation]{Definitsioon}
\newtheorem{faktorryhm}[equation]{Definitsioon}

\theoremstyle{plain}
\newtheorem{homomorfismide_korrutis_homomorfism}[equation]{Lause}
\newtheorem{emorf_on_monoid}[equation]{Lause}
\newtheorem{isomorfsus_on_ekvivalents}[equation]{Lause}
\newtheorem{automorfismide_hulk_on_ruhm}[equation]{Lause}
\newtheorem{kui_leidub_homomorfism_leidub_alamalgebra}[equation]{Lause}
\newtheorem{homomorfism_ja_alamalgebrad}[equation]{Lause}
%II loeng
\newtheorem{alamalgebrate_systeemi_yhisosa_alamalgebra}[equation]{Lause}
\newtheorem{loomulik_kujutus_homomorfism}[equation]{Lause}
\newtheorem{tuum_kongruents}[equation]{Lause}
\newtheorem{loomuliku_kujutuse_tuum}[equation]{Lause}
\newtheorem{faktoralgebra_alamalgebra_isomorfsus}[equation]{Lause}
%III loeng
\newtheorem{normaalne_siis_kui_aH=Ha}[equation]{Lause}
\newtheorem{loomulik_kujutus_homomorfism_ryhm}[equation]{Lause}

\newtheorem{homomorfismiteoreem}[equation]{Teoreem}
\newtheorem{faktoralgebra_faktoriseerimine}[equation]{Teoreem}
\newtheorem{kongruents_normaalne_alamryhm}[equation]{Teoreem}
\newtheorem{homomorfismiteoreem_ryhm}[equation]{Teoreem}

% III loeng
\newtheorem{yksyhene_vastavus_faktoralgebra_kongruentside_vahel}[equation]{Järeldus}
\newtheorem{faktoralgebra_lihtne}[equation]{Järeldus}



\begin{document}



%loeng I


\chapter{\"Uldise algebra põhimõisteid ja põhikonstruktsioonid}


\colorbox{background_example}{\parbox{\textwidth}{
\subsection*{Meenutusi varasemast}

Olgu $A$ mittet\"uhi hulk ehk $A \neq \emptyset$. Olgu $n$ suvaline naturaalarv, hulga $A$ \textbf{$n$-ndaks otseastmeks} nimetatakse hulga $A$ elementidest koosnevate järjestatud vektorite hulka.
\begin{equation*}
A^n = A \times A \times ... \times A = \{(a_1,\cdots,a_n)| a_i \in A \} \text{.}
\end{equation*}

Inglise keelses kirjanduses kasutatakse tähist \textit{$n$-tuple}. Märgime veel, et $A^0 = \left\{\emptyset \right\} $, seega $\left| A^0 \right| = 1$.

Kujututust

\begin{equation*}
\omega: A^n \to A 
\end{equation*} 

nimetatakse \textbf{$n$-naarseks} ehk \textbf{$n$-kohaliseks} algebraliseks tehteks hulgal A.




Levinumad $n$-aarsete tehete nimetused:
\begin{enumerate}
\item $n$=2: binaarne tehe, paneb kahele kindlas järjekorras võetud elemendile vastavusse elemendi samast hulgast.
\item $n$=1: unaarne tehe, paneb hulga elemendile vastavasse mingi selle sama hulga elemendiga. 
\item $n$=0: nullarne tehe, tõlgendatav kui \"uhe kindla elemendi fikseerimine
\end{enumerate}
}}
\section{$\Omega$-algebra}

\begin{tyyp} Hulka $\Omega$ nimetakse \textbf{t\"u\"ubiks} ehk \textbf{signatuuriks} kui ta on esitatud mittelõikuvate alamhulkade $\Omega_0 , \Omega_1, \Omega_2, ... $ \"uhendina.
\end{tyyp}

\begin{omega_algebra} Olgu $\Omega$ tüüp. Mittet\"uhja hulka $A$ nimetatakse \textbf{$\Omega$-algebraks}, kui iga $a$ korral igale $\omega \in \Omega_n$ vastab $n$-aarne tehe hulgal A, mida tähistatakse sama s\"umboliga $\omega$. 
\end{omega_algebra}

Ehk, kui $A$ on $\Omega$-algebra, siis iga $\omega \in \Omega_n$ ja suvaliste $a_1,a_2,...,a_n \in A$ korral on \"uheselt määratud element $\omega \left( a_1,a_2,...,a_n \right) \in A$. 

Kui tahetakse rõhutada, mis t\"u\"upi algebraga on tegemist, siis tähistatakse $\Omega$ algebrad paarina $(A;\Omega)$.


\colorbox{background_example}{\parbox{\textwidth}{
\section*{Meenutusi varasemast}
Algebralised põhistruktuurid.
\begin{enumerate}[I]
\item R\"uhmoid - mittet\"uhi hulk, millel defineeritud kahekohaline tehe.
\item Poolr\"uhm - r\"uhmoid, mille tehe on assotsiatiivne.
\item Monoid - poolr\"uhm, milles leidub \"uhikelement.
\item R\"uhm - monoid, mille igal elemendil leidub pöördelement.
\item Abeli r\"uhm - r\"uhm on Abeli r\"uhm, kui tema tehe on kommutatiivne.
\item Ring - hulka R nimetatatkse ringiks, kui tal on defineeritud liitmine ja korrutamine, kusjuures R on liitmiise suhtes Abeli r\"uhm ja liitmine ja korrutamine on distributiivsed. Tihti lisatakse ka nõue \"uhikelemende olemasoluks.
\item Korpus - ring, mille nullist erinevad elemendid moodustavad r\"uhma korrutamise suhtes.
\end{enumerate}
}}
\subsection*{Näited}

\begin{enumerate}[I]
\item R\"uhmoid - hulk \"uhe binaarse tehtega, see tähendab $\Omega= \Omega_2 = \left\{ * \right\}$.
\item Poolr\"uhm - signatuur analoogne r\"uhmoidi signatuuriga.

\item Monoid - \"uhikelemendiga poolr\"uhm, vaatame seda tihti laiema signatuuriga, $\Omega = \Omega_0 \cup \Omega_2$, kus $\Omega_0 = \left\{ 1 ~ \text{(\"uhikelemendi fikseerimine)}  \right\}$ ja $\Omega_2 = \{*\}$.

\item R\"uhm - saab kirjeldada eelnevate signatuuride kaudu, aga parem kirjeldada järgnevalt: $\Omega = \Omega_0 \cup \Omega_1 \cup \Omega_2$, kus $\Omega_0 = \{1\}$, $\Omega_1 = \left\{ ^{-1} ~ \text{(pöördelemendi leidmine)} \right\}$ ja $\Omega_2 = \{*\}$.

\item Ring - algebraline struktuur signatuuriga: $\Omega = \Omega_0 \cup \Omega_1 \cup \Omega_2$, kus $\Omega_2 = \left\{ +,* \right\}, \Omega_1 = \left\{- ~ \text{vastandelemendi leidmine} \right\}$  ja  $\Omega_0 = \left\{0 ~ \text{(nullelemendi fikseerimine)},1 \right\}$.

\item Vektorruum  \"ule korpuse $\mathbb{K}$ - struktuur signatuuriga:
$\Omega = \Omega_0 \cup \Omega_1 \cup \Omega_2$, kus
$\Omega_2 = \{+\}$, $\Omega_1 = \{-\} \cup \left\{ \alpha * | \alpha \in \mathbb{K} \right\}$, $\Omega_0 = \{0\}$. Paneme tähele, et kui oleme sisse toonud skalaariga korrutamise ei ole rangelt võttes vaja ei nullelemendi fikseerimist ega vastandelemendi leidmist - need tehted võime defineerida läbi skalaariga korrutamise. Ehk alternatiivne signatuur oleks järgmine: $\Omega = \Omega_1 \cup \Omega_2$, kus
$\Omega_2 = \{+\}$, $\Omega_1 =  \left\{ \alpha * | \alpha \in \mathbb{K} \right\}$.
\end{enumerate}

\section{Morfismid}


\begin{homomorfism} Olgu meil $\Omega$-algebra $A$ ja $\Omega$-algebra $B$. Kujutust $\phi$  nimetatakse \textbf{homomorfismiks}, kui iga $n$, iga $\omega \in \Omega_n$ ja suvaliste $a_1,...,a_n \in A$ korral kehtib võrdus 
\begin{equation*}
\phi(\omega(a_1,...,a_n)) = \omega(\phi(a_1),..., \phi(a_n)).
\end{equation*}
\end{homomorfism}

Defineerime kõikide $A$ ja $B$ vaheliste homomorfismide hulga järgnevalt - $\left\{ \phi | \phi \text{ on homoformism algebrast A algebrasse B }  \right\} $, sellist hulka tähistatakse s\"umboliga Hom$(A,B)$.

\subsection*{Näited}
\begin{enumerate}[I]
\item{
Olgu $A$ ja $B$ r\"uhmad. Meenutame, et r\"uhma saab kirjeldada järgneva signatuuri abil: $\Omega = \{1\} \cup \{ ^{-1} \} \cup \{*\}$. Olgu meil järgnev kujutus:
\begin{equation*}
\phi : A \rightarrow B 
\end{equation*}

Veendumaks, et $\phi$ on homomorfism tuleb veenduda selles, et $\phi$ säilitab kõik tehted. Teisisõnu:

\begin{equation*}
\phi \text{ on homomorfism} \iff 
\begin{cases}
\phi(1) = 1 \\
\phi(x^{-1}) = \phi(x)^{-1} \\
\phi(xy) = \phi(x)\phi(y)
\end{cases} 
\end{equation*}

Tõestame, et r\"uhmade $A$ ja $B$ vaheline kujutus on homomorfism siis ja ainult siis kui kehtib kolmas tingimus ($\phi(xy)= \phi(x) \phi(y)$). 
\begin{proof}
Kehtigu kolmas tingimus, see tähendab $\phi(xy)= \phi(x) \phi(y)$. Veendume, et sellest järeldub esimese kahe tingimuse kehtivus.
\begin{equation*}
\phi(1) = \phi(1*1) = \phi(1)\phi(1) \implies \phi(1)\phi(1)^{-1} = \phi(1)\phi(1)\phi(1)^{-1} \implies 1 = \phi(1)*1 = \phi(1)
\end{equation*}
\begin{equation*}
   \phi(x^{-1})\phi(x) = \phi(x^{-1}x) = \phi(1) = 1 \implies \phi(x)^{-1} = \phi(x^{-1})
\end{equation*}
\end{proof}

Niisiis taandub kujutuse homomorfismiks olemise kontroll kolmanda omanduse kehtimise kontrollimisele.}

\item Lineaarkujutis on vektorruumide isomorfism.

\item{ Olgu meil $\Omega$-algebrad $A,B$ ja $C$ ning nende homomorfismid $\phi : A \to B$, $\psi : B \to C$. Defineerime kujutuse $\upsilon: A \to C$ järgnevalt: $\upsilon =  (\psi \phi ) = \psi (\phi ( x)), x \in A$.  Siis see kompositsioon on samuti homoformism (kui teda saab nii defineerida).Sõnastame eelneva lausena ja veendume, et see nii on. 
}

\end{enumerate}

\begin{homomorfismide_korrutis_homomorfism}
\thlabel{homomorfismide_korrutis_homomorfism}
Kui $\Omega$-algebrate homomorfismide korrutis on defineeritud, siis on see ise ka $\Omega$-algebrate homomorfism. 
\end{homomorfismide_korrutis_homomorfism}

\begin{proof}

  Peame veenduma sellest, et $(\psi\phi)(\omega(a_1,\cdots, a_n)) = \omega((\psi \phi)(a_1,\cdots,a_n))$. See on samaväärne sellega, te $\psi(\phi(\omega(a_1,\cdots,a_n))) = \omega(\psi(\phi(a_1)),\cdots, \psi(\phi(a_n)))$. Kuna $\phi$ on homomorfism, siis kehtib $ \psi(\phi(\omega(a_1,\cdots,a_n))) = \psi(\omega(\phi(a_1),\cdots,\phi(a_n))$. Kuna ka $\psi$ on homomorfism, siis saame kirjutada: $\omega(\psi(\phi(a_1)),...,\psi(\phi(a_n)))$.
  

\end{proof}


\begin{emorf}
Homomorfismis mingist $\Omega$-algebrast iseendasse nimetatakse selle algebra \textbf{endomorfismiks}. Kõikide endomorfismide hulka Hom$(A,A)$ tähistame s\"umboliga End$(A)$.
\end{emorf}
 
\begin{emorf_on_monoid}
\thlabel{emorf_on_monoid}
Iga $\Omega$-algebra A korral on hulk End$(A)$ monoid kujutuste korrutamise (järjest rakendamise) suhtes. 
\end{emorf_on_monoid}

\begin{proof}
Tõestuseks piisab veenduda, et leidub \"uhikelement ja kujutuste järjest rakendamine on assotsiatiivne. Veendume \"uhikelemendi olemasolus, selleks sobib kujutus $id_A : A \to A, id_{A}(x) = x, x \in A$. On selge, et selline kujutus on ka homomorfism, mistõttu ta kuulub hulka End$(A)$. Assotatiivsuses veendumiseks piisab tähele panna, et $\left( \phi\psi \right) x$ on defineeritud kui $\phi \left( \psi \left( x \right) \right)$. Seega $\left( \phi \psi \right) \upsilon \left( x \right) = \phi \left( \psi \left( \upsilon \left( x \right) \right) \right) =   \phi \left( \psi \upsilon \right) \left( x \right)$.
\end{proof}

\begin{isomorfism}
Bijektiivset homomorfismi nimetatakse \textbf{isomorfismiks}. 
\end{isomorfism}

\begin{isomorfsus}
$\Omega$-algebraid $A$ ja $B$ nimetatakse nimetatakse \textbf{isomorfseteks}, kui leidub isomorfism $\phi: A \to B$.
\end{isomorfsus}

Seda, et $\Omega$-algebrad A ja B on isomorfsed, tähistatakse s\"umboliga $A \simeq B$.

\begin{isomorfsus_on_ekvivalents}
\thlabel{isomorfsus_on_ekvivalents}
Isomorfism on ekvivalentsiseos kõigi $\Omega$-algebrade klassil, ehk ta on refleksiivne, s\"ummeetriline ja transitiivne. 
\end{isomorfsus_on_ekvivalents}

\begin{proof}
Veendume, et isomorfism on refleksiivne, s\"umeetriline ja transitiivne. Olgu $A,B,C$ $\Omega$-algebrad. 
\begin{enumerate}[I]
\item Refleksiivsus, ehk A $\simeq$ A. Lihte on nähe, et sobivaks isomorfismiks osutub $id_A: A \to A$.
\item S\"ummeetria. Peame veenduma, et kui eksisteerib isomorfism $ \phi : A \rightarrow B$ isomorfism, siis sellest järeldub, et eksisteerib ka isomorfism $ \psi : B \rightarrow A$. Valime selleks $\phi^{-1}$ ja näitame, et tegemist on tõepoolest isomorfismiga. Bijektiivsus on ilme, näidata tuleb, et $\phi^{-1}$ säilitab tehted. See tähendab, et peab kehtima järgnev : $\forall (b_1,\cdots,b_n) \in B$ korral $\phi^{-1} (\omega(b_1,\cdots, b_n)) = \omega(\phi^{-1}(b_1), \cdots, \phi^{-1}(b_n))$. Rakendame mõlemale poole kujutust $\phi$. Saame $\phi \left( \phi^{-1}(\omega(b_1,\cdots, b_n)) \right) = \phi \left( \omega \left( \phi^{-1}(b_1), \cdots, \phi^{-1}(b_n) \right) \right)$. Arvestades seda, et $\phi$ on homomorfism saame kirjutada: $ \phi \left( \phi^{-1}(\omega(b_1,\cdots, b_n)) \right) = \left( \omega \left( \left( \phi  \phi^{-1} \right) (b_1), \cdots, \left( \phi \phi^{-1} \right) (b_n) \right) \right)$. Kuna kujutuse ja tema pöördkujutuse järjest rakendamine on võrdne \"uhik teisendusega, siis on lihte näha, et võrdus kehtib. Siis aga $\phi$ injektiivsuse põhjal $\phi^{-1} (\omega(b_1,\cdots, b_n)) = \omega(\phi^{-1}(b_1), \cdots, \phi^{-1}(b_n))$, mida oligi tarvis näidata.
\item Transitiivsus. Veendume, et kui leiduvad isomorfisimid $\phi: A \to B$ ja $\psi: B \to C$, siis leidub ka isomorfism $\upsilon: A \to C$. Valime kujutuseks $\upsilon$ kujutuste $\phi$ ja $psi$ järjest rakenduse $(\phi \psi): A \to C$. Veendume, et nii defineeritud $\upsilon$ on isomorfism. On lihtne näha, et tegemist on bijektsiooniga.     
Lause \ref{homomorfismide_korrutis_homomorfism} põhjal on $\upsilon$ ka homomorfism, seega oleme näidanud, et $\upsilon$ on isomorfism.
\end{enumerate}
\end{proof}

Kui meid huvitab tehe ja tema omadused, siis need jäävad samaks isomorfismi klassi täpsusega. Seeläbi võime laiendada tehte kohta tehtud tähelepanekuid \"uhelt $\Omega$-algebralt  algebrade isomorfismiklassile.


\begin{automorfism}
Bijektiivset endomorfismi nimetatakse automorfismiks.
\end{automorfism}

$\Omega$-algebra $A$ kõigi automorfismide hulka tähistatakse s\"umboliga Aut$A$ 

\begin{automorfismide_hulk_on_ruhm}
Iga $\Omega$-algebra $A$ korral on hulk Aut$A$ rühm kujutuste korrutamise (järjest rakendamise) suhtes. 
\end{automorfismide_hulk_on_ruhm}

\begin{proof}
Olgu $A$ suvaline $\Omega$-algebra.Esiteks, tuletame meelde, et Lause \ref{emorf_on_monoid} põhjal on kõikide $A$ endomorfismide hulk monoid kujutuste korrutamise suhtes. Kuna $\Omega$-algebra $A$ kõikide automorfismide hulk Aut$A$ on endomorfismide hulga kinnine alamhulk, siis on tegemist samuti monoidiga. Hulga kinnisus tuleneb faktist, et bijektiivsete kujutuste korrutamise tulemus on bijektiivne kujutus. Tuletame meelde, et r\"uhm on selline monoid, mille igal elemendil leidub pöördelement. Jääb veenduda, et iga hulga Aut$A$ elemendil leidub pöördelement. Selleks sobib aga elemendi pöördfunktsioon, nagu me Lause \ref{isomorfsus_on_ekvivalents} tõestuse teises osas veendusime. Seega on lause tõestatud.
\end{proof}


 
\subsection*{Näited automorfismidest}
 \begin{enumerate}[I]
 \item{Vaatleme kompleksarvude korpuse $\mathbb{C}$ peal defineeritud funktsiooni
 $\phi: C \rightarrow C, \phi(\alpha) = \overline{\alpha}$. On lihtne veenduda, et see funktsioon on automorfism.} 
 
 \item{Olgu $G$ suvaline r\"uhm, fikseerime elemendi $g \in G$. Defineerime n\"u\"ud kujutuse $\phi : G \to G, \phi(x) = g^{-1} x g $. Nii defineeritud kujutis on automorfism.} 
 
 \end{enumerate}
 
\section{Alamalgebra}

\begin{alamalgebra}
$\Omega$-algebrat $B$ nimetatakse $\Omega$-algebra $A$ alamalgebraks, kui $B \subseteq A$ ja iga $\omega \in \Omega$ korral tehe $\omega$ algebral $B$ saadakse kui algebra $A$ sama tehte ahend.
\end{alamalgebra}

 Eelnevat võib mõtestada järgnevalt : $B \subset A, b_1,\cdots,b_n : \omega^B (b_1,\cdots,b_n) = \omega^A (b_1,\cdots,b_n) ( \in B)$. Ehk, sõnadesse panduna, siis tehte $\omega$ väärtus ei sõltu sellest, kas me vaatame teda algebras $A$ või algebras $B$.  
Definitsioonist järjeldub, et algebra mittet\"uhialamhulk, mis on kinnine tehete suhtes on alamalgebra. 
 
Paneme tähele, et kui me jätaksime ära nõude, et alamhulk peab olema mittet\"uhi, siis kehtiks jägnev väide:  olgu  $(A;*)$ on poolr\"uhm ja $B= \emptyset \subset A$, siis $B$ rahuldab tingimust $ x,y \in B \implies xy \in B $ ehk $B$ on kinnine korrutamise suhtes. Samas $B$ ei ole alamalgebra, seega on  mittet\"uhja alamhulga nõue oluline. 

Seda, et $\Omega$-algebra $B$ on $\Omega$-algebra $A$ alamalgebra tähistame $B \leq A$.
 
Kui $ B \leq A$, siis saab vaadelda sisestuskujutust $\tau : B \to A, \tau(x) = x, x \in B$. On selge, et $\tau \in Hom(B,A)$, samuti on lihte veenduda, et $\tau$ on injektiivne. Seega $B \simeq A $ 
Teatud mõttes kehtib ka vastupidine seos, seda näeme järgmises lauses.

\begin{kui_leidub_homomorfism_leidub_alamalgebra}
Kui $A$ ja $B$ on $\Omega$-algebrad ning leidub \"uks\"uhene homomorfism $\phi : B \to A $, siis kujutis $\phi(B)$ on $A$ alamalgebra, mis on isomorfne algebraga $B$.
\end{kui_leidub_homomorfism_leidub_alamalgebra}

\begin{proof}
Vaatleme hulka $\phi(B)$. Eelneva põhjal piisab selleks, et veenduda et $\phi(B)$ on $A$ alamalgebra veenduda, et $\phi(B)$ on kinnine. On selge, et $B$ on kinnine kõigi oma tehete suhtes, $\Omega$-algebra definitsiooni põhjal. Kuna $\phi$ on homomorfism, siis ta säilitab teheted, kuna ta on ka injektiivne, siis on hulk $\phi(B)$ kinnine tehete suhtes, seega on hulk $\phi(B)$ algebra $A$ alamalgebra. Kuna $\phi(B) = \left\{ \phi(x) | x \in B \right\} $, siis on kujutus $\phi$ selle hulga suhtes pealekujutus. Seega on $\phi$ bijektsioon hulkade $B$ ja $\phi(B)$ vahel ehk $B \simeq \phi(B)$. 
  

\end{proof}

\begin{homomorfism_ja_alamalgebrad}
Olgu antud $\Omega$-algebrate homomorfism $\phi : A \to B$ ning olgu antud alamalgebrad $C \leq A$ ja $D \leq B$. Siis $\phi(C) \leq B$ ja $\phi^{-1}(D) \leq A$. 
\end{homomorfism_ja_alamalgebrad}

\begin{proof}
Veendume esiteks, et algebra $B$ alamhulk $\phi(C)$ on kinnine. Valime suvaliselt mingi  tehte $\omega \in \Omega_n$. Alamhulga kinnisus on samaväärne sellege, et suvaliste $ e_1,...,e_n \in \phi(C)$ korral $\omega(e_1,...,e_n) \in \phi(C)$. Märgime, et leiduvad $ c_i \in C$,nii et $\phi(c_i)=e_i$. Kusjuures, leidub $ c \in C$ niiviisi, et kehtib $ \omega(c_1,...,c_n) = c$. Seega, $ \omega(e_1,...,e_n) = \omega(\phi(c_1),...,\phi(c_n))= \phi(\omega(c_1,...,c_n)) = \phi(c) \in \phi(C)$. Seega algebra $B$ alamhulk $\phi(C)$ on kinnine ja seega algebra $B$ alamalgebra. 

Veendume n\"u\"ud, et algebra $A$ alamhulk $\phi^{-1}(D)$ on kinnine. Valime taaskord suvaliselt mingi $\omega \in \Omega_n$. Piisab näidata, et $a_1,...,a_n \in \phi^{-1}(D) \implies \omega(a_1,...,a_n) \in \phi^{-1}(D) \iff \phi(\omega(a_1,...,a_n)) \in D$. Leiduvad $d_1,...,d_n$, nii et kehtib $\phi(a_i)=d_i$. Jällegi, kuna $D$ on alamalgebra, siis kehtib järgnev: $d = \phi \left( \omega(a_1,...,a_n) \right) = \omega(\phi(a_1),...,\phi(a_n)) \in D$.
 


\end{proof}
 
 
% loeng II

\begin{alamalgebrate_systeemi_yhisosa_alamalgebra}\thlabel{alamalgebrate_systeemi_yhisosa_alamalgebra} Olgu antud $\Omega$-algebra A alamalgebrate s\"usteem $B_i$, $i \in I$, kujsuures $B= \cap_{i \in I} B_i \neq \emptyset$. Siis $B \leq A$.
\end{alamalgebrate_systeemi_yhisosa_alamalgebra}

\begin{proof}
Olgu $B_i \leq A, i \in I, \cap_{i \in I}B_i \neq \emptyset$. Olgu $\omega_n \in \Omega$, valime suvaliselt $x_1,...,x_n$ hulgast $\cap_{i \in I} B_i$. Sellest järeldub otseselt, et $x_1,...,x_n \in B_i ~ \forall i \in I$, kuna $B_i$ on alamalgebra, siis $\omega(x1,...,x_n) \in B_i \implies \omega(x_1,...,x_n) \in \bigcap \limits_{i \in I} B_i$, millest alamalgebra definitsioonist järeldub, et $\bigcap \limits_{i \in I} B_i$ on alamalgebra.
\end{proof}

Vaatleme $\Omega$-algebra $A$ mittet\"uhja alamhulka $X$.
Näeme, et vähim $X$-i sisaldav alamalgebra  $\cap \left\lbrace B ~ | ~  X \subset B \leq A, B \right\rbrace \neq \emptyset$. Vastavalt lausele \ref{alamalgebrate_systeemi_yhisosa_alamalgebra} on tegemist alamalgebraga. Sellist alamalgebrad tähistatakse $\left\langle X \right\rangle$.
Kui $\left\langle X \right\rangle = A$, siis öeldakse, et  $X$ on $A$ moodustajate s\"usteem.

On võimalik näidata, et $\left\langle X \right\rangle$ koosneb täpselt algebra $A$ neist elementidest, mis on selle algebra teheta abil (nende korduval rakendamisel) saadavad hulga $B$ elementidest.



\section{Faktoralgebra}

Eesmärgiks on t\"ukeldada $\Omega$-algebra mittelõikuvateks osadeks, nii et nende osade hulgal saaks loomulikul viisil defineerida $\Omega$-algebra struktuuri. 

\begin{kongruents}
Ekvivalentsiseost $\rho$ $\Omega$-algebral $A$ nimetatakse selle algebra kongruentsiks, kui iga $n$, iga $\omega \in \Omega_n$ ja suvaliste $x_1,...,x_n ,y_1,...,y_n \in A$ korral sellest, et
\begin{equation*}
(x_1,y_1) \in \rho,...,(x_n,y_n) \in \rho
\end{equation*}
järeldub
\begin{equation*}
(\omega(x_1,...,x_n),\omega(y_1,...,y_n)) \in \rho.
\end{equation*}
\end{kongruents}

\colorbox{background_example}{\parbox{\textwidth}{
\subsection*{Meenutusi varasemast}
\"Utleme, et $\rho$ on hulga $A$ ekvivalents ($\rho \in Eqv(A)$), kui $\rho \subset A \times A $ ja $\rho$ on:
\begin{enumerate}
\item refleksiivne
\item s\"ummeetriline
\item transitiivne
\end{enumerate}
}}

\vspace{10pt}

Kui hulgal on antud ekvivalentsiseos $\rho$, siis iga $a \in A$ määrab ekvivalentsiklassi  $\left\lbrace x \in A ~|~ a \rho x \right\rbrace$, mida me hakama tähistama  $a / \rho$. Kõigi  $\rho$-klasside hulka nimetatakse hulga $A$ faktorhulgaks ekvivalentsi $\rho$ järgi ja tähistatakse $A/ \rho$.  Paneme tähele, et kehtib $a_1 / \rho = a_2 / \rho \iff a_1 \rho a_2$.

\subsection*{Näiteid kongruentsidest}
\begin{enumerate}[I]
\item Olgu meil r\"uhm $\left( \mathbb{Z}, + \right)$, $n \in \mathbb{Z}$ ja ekvivalents $\rho_n \colon  a \rho_n b \iff n | a - b$. Siis $\mathbb{Z} = \left\lbrace 0 / \rho, 1 / \rho,..., n-1 / \rho \right\rbrace$, kusjuures $a \rho = \left \lbrace a + kn | k \in \mathbb{Z} \right\rbrace$. Sellist faktorhulka $\mathbb{Z} / \rho$ nimetatakse jäägiklassiringiks. Lihtne on veenduda, et $\rho$ on tõepoolest kongruents.
\item Olgu meil r\"uhm $\left( \mathbb{Z}, + \right)$ ja ekvivalents $\rho \colon =
\begin{cases}
-1 \rho x , ~ x < 0 \\
0  \rho x, x = 0 \\
1  \rho x, x > 0
\end{cases}
$ 
Paneme tähele, et tegemist ei ole kongruentsiga. Tõepoolest, $ \left( 1,1 \right),\left( -2,-1 \right) \in \rho, \left( -1,0 \right) \not \in \rho$.
\item Paneme samas tähele, et eelnevalt defineeritud ekvivalents on kongruents r\"uhma $\left( \mathbb{Z}, \cdot \right)$.

\end{enumerate}



\begin{faktoralgebra_kongruensti_jargi}
$\Omega$-algebra $A$ faktoralgebraks kongruentsi $\rho$ järgi nimetatakse faktorhulka $A / \rho$, mille tehted $\omega \in \Omega$ on defineeritud valemiga

\begin{equation*}
\omega \left( a_1 / \rho,...,a_n / \rho \right) = \left( \omega \left( a_1,...,a_n \right) \right) / \rho
\end{equation*}

\end{faktoralgebra_kongruensti_jargi}


Olgu $\rho \in Eqv(a)$.
Saab defineerida kujutise $ \pi : A \rightarrow A/ \rho$, $\pi (a) = a / \rho $ . Seda kujutust nimetatakse loomulik kujutus faktorhulgale või ka loomulikuks  projektsiooks. Kuna iga $\rho$-klass koosneb hulga $a$ elementidest, siis on kujutus $\pi $ s\"urjektiivne.

\begin{loomulik_kujutus_homomorfism} Kui $A$ on $\Omega$-algebra ja $\rho$ tema kongruents, siis loomulik kujutus $\pi : A \to A / \rho$ on $\Omega$-algebrate s\"urjektiivne homomorfism.
\end{loomulik_kujutus_homomorfism}

\begin{proof}
Olgu $A$ $\Omega$-algebra ja $\rho$ tema kongruents. Veendume, et loomulik kujutus $\pi : A \to A / \rho $ on s\"urjektiinve homomorfism. S\"urjektiivsus on ilmne - iga ekvivalentsiklass sisaldab hulga $A$ element. Veendume, et $\pi$ on homomorfism. Valime suvaliselt $\omega \in \Omega$, veendume, et $\omega \left( \pi \left( a_1 \right),..., \pi \left( a_n \right) \right) = \pi \left( \omega \left( a_1,...,a_n \right) \right)$.
Loomuliku kujutuse ja faktoralgebra  definitsioonide põhjal saame kirjutada :   
$\omega \left( \pi \left( a_1 \right),..., \pi \left( a_n \right) \right) = \omega \left(  a_1 / \rho ),...,  a_n / \rho \right) =   \left( \omega \left( a_1,...,a_n \right) \right) / \rho = \pi \left( \omega \left( a_1,...,a_n \right) \right)$.
\end{proof}

\begin{tuum}
Kujutuse $\phi \colon A \to B$ tuumaks nimetatakse binaarset seost $\rho$ hulgal $A$, mis on defineeritud eeskirjaga:
\begin{equation*}
\left( x,y \right) \in \rho \iff \phi \left( x \right) = \phi \left( y \right)
\end{equation*}
\end{tuum}

On kerge kontrollida, et iga kujutuse $\phi \colon A \to B$ tuum on ekvivalentsiseos hulgal $A$.


\begin{tuum_kongruents}
Iga $\Omega$-algebrate homomorfismi $\phi \colon A \to B$ tuum on algebra $A$ kongruents.
\end{tuum_kongruents}
\begin{proof}
Veendume, et homomorfismi$ \phi \colon A \to B$ tuum on kongruents. Teame, et tegemist on ekvivalentsiga, seega jääb kontrollida, et suvaline $\omega \in \Omega$ korral kui $ \left( a_1, b_1 \right),..., \left( a_n, b_n \right)$ siis ka $ \left( \omega \left( a_1,...,a_n \right), \omega \left( b_1,...,b_n \right) \right)$, mis on samaväärne sellega, et kui $ \phi \left( a_1 \right) = \phi \left( b_1 \right),..., \phi \left( a_n  \right) = \phi \left (b_n \right)$ siis ka $ \phi \left( \omega \left(a_1,...,a_n \right) \right) =  \phi \left( \omega \left( b_1,...,b_n \right) \right)$. Kuna $\phi$ on homomorfism, siis: 
\begin{equation*}
\phi \left( \omega \left(a_1,...,a_n \right) \right) = \omega \left( \phi \left( a_1 \right) , ... , \phi \left( a_n \right) \right)  = \omega \left( \phi \left( 
b_1 \right) , ... , \phi \left( b_n \right) \right)  = \phi \left( \omega \left( b_1,...,b_n \right) \right)
\end{equation*}
\end{proof}

\begin{loomuliku_kujutuse_tuum}
Kui $\rho$ on $\Omega$-algebra $A$ kongruents, siis loomuliku homomorfismi $\pi \colon A \to A / \rho$ tuum on $\rho$.
\end{loomuliku_kujutuse_tuum}

\begin{proof}
Veendume, et $Ker \left( \pi \right) = \rho$. Veendume, et $Ker \left( \pi \right) \subset \rho$. Olgu $\left( a , b \right) \in Ker \left( \pi \right) \implies \pi \left( a \right) = \pi \left( b \right) \implies a / \rho = b / \rho \implies \left( a , b \right) \in \rho$. Teistpidi, olgu $\left( a , b \right) \in \rho$, siis $ a  / \rho =  b / \rho \implies \pi \left( a \right) = \pi \left( b \right) \implies \left( a,b \right) \in Ker \left( \pi \right)$.
\end{proof}



\begin{homomorfismiteoreem}
Kui $\phi \colon A \to B$ on $\Omega$-algebrate s\"urjektiinve homomorfism ja $\rho$ on $\phi$ tuum, siis $B \simeq A / \rho$
\end{homomorfismiteoreem}

\begin{proof}
Defineerime $\psi : A/ \rho \to B, \psi \left( a / \rho \right) := \phi \left( a \right)$. Kas on definitsioon on korrektne, st kas $\psi$ on \"uheselt määratud ? Ehk kas $a_1/ \rho = a_2 / \rho \iff \phi \left( a_1 \right) = \phi \left( a_2 \right)$. Siit saaksime kätte ka injektiivsuse. Piisab arvesse võtta, et eelnev tähendab, et $a_1 / \rho = a_2 / \rho \iff a_1 \rho a_2$, ning kuna $\rho$ on $\phi$ tuum, siis $\left( a_1, a_2 \right) \in Ker \left( \phi \right)$. $\psi$ sürjektiivsus tuleneb otse  $\phi$ sürjektiivsusest. Järelikult on $\psi$ bijektsioon.
Kas $\psi$ on homoformism ?
Olgu $\omega \in \Omega_n$ ja $a_1,...,a_n \in A$.
\begin{align*}
\psi\left( \omega \left( a_1 / \rho,..., a_n / \rho \right) \right) = \psi \left( \omega \left( a_1,...,a_n \right) / \rho \right) = \phi \left( \omega \left( a_1,...,a_n \right) \right) = \\ 
= \omega \left( \phi \left( a_1 \right) ,..., \phi \left( a_n \right) \right)  = \omega \left( \psi \left( a_1 / \rho \right), ..., \psi \left( a_n / \rho \right) \right)
\end{align*}
\end{proof}

\begin{faktoralgebra_alamalgebra_isomorfsus} {\color{red} EI SAA ARU }Olgu $\rho$ $\Omega $-algebra A kongruents, $D \leq A / \rho$ ning $\pi $ kongurgentsi $\rho $ tuum. Siis $D \simeq C / \rho|_C$ , kus $C = \pi^{-1}(D) $.
\end{faktoralgebra_alamalgebra_isomorfsus}

\begin{proof}
Olgu $\pi^{-1}(D) = C \leq A$. Olgu $\alpha$ $\pi$ ahend C-le ($\alpha = \pi|_{C}$). Siis $\alpha : C \rightarrow D$, $\alpha$ on homomorfism. Väidame, et $\alpha$ on s\"urjektiinve. Kuna $\pi$ oli s\"urjektiinve, siis $\forall y \in A / \rho ~ \exists x \in A,   \pi(x) = y$. Seega $\alpha(x) = y$. 
\end{proof}

Viimane lause näitab, et mistahes algebra $A$ faktoralgebra alamalgebra on alati isomorfne sama algebra $A$ mingi alamalgebra faktoralgebraga. Vastupidine ei ole \"uldiselt võimalik.

\section{Faktoralgebra faktoriseerimine}

Tekib k\"usimus, kui kaks korda faktoriseerime, mis siis juhtub, kas me saame midagi uut ? Tuleb välja, et kahekordset faktoriseeringut on võimalik asendada isomorfismi täpsuseni üks kord faktoriseerimisega. 

Olgu antud $\rho$ ja $\sigma$ $\Omega$-algebra $A$ kongruentsid, kusjuures $\rho \leq \sigma, (x,y) \in \rho \implies (x,y) \in \sigma$. Defineerime faktoralgebral $A/ \rho$ binaarse seose:
\begin{equation*}
\sigma / \rho = \{\left( x / \rho, y / \rho \right)  | (x,y) \in a \sigma \}
\end{equation*}


Võime veenduda, et nii defineertus seos $\sigma / \rho$ on faktoralgebra $A / \rho$ kongruents.

\begin{faktoralgebra_faktoriseerimine}
Olgu $A$ $\Omega$-algebra, $\rho, \sigma \in $Con$\left( A \right)$, kusjuures $\rho \leq \sigma$. Siis $\sigma / \rho $ on faktoralgebra $A / \rho$ kongruents. Veel enam, faktoralgebra $A / \rho$ iga kongruents omab kuju $ \sigma / \rho$, kus $\sigma \in Con(A)$ ja $\rho \leq \sigma$. Sealjuures algebrad $\left( A / \rho \right) / \left( \sigma / \rho \right)$ ja $ A / \sigma$ on isomorfsed. 
\end{faktoralgebra_faktoriseerimine}
\begin{proof}
Veendume esimese s väites. Tõepoolest, pannes tähele, kuidas on defineeritud faktoralgebra tehted, on lihtne veenduda, et tõepoolest $\sigma / \rho $ on faktoralgebra kongruents. Olgu $\omega \in \Omega_n$, $( a_i / \rho, b_i / \rho) \in \sigma / \rho \implies \left( a_i, b_i \right) \in \sigma \implies \left( \omega \left(a_i \right), \omega \left( b_i \right) \right) \in \sigma \implies \left( \omega \left(a_i \right) / \rho, \omega \left( b_i \right) \right) / \rho \in \sigma / \rho$. Teoreemi teise osa tõestus: Olgu $\tau \in Con(A / \rho)$. Defineerime kongruentsi $\sigma_0$ järgnevalt: $ \left( x, y \right) \iff \left( \pi \left( x \right), \pi \left( y \right) \right)$. Lihtne on veenduda, et $\sigma_0 \in $Con$\left( A \right)$. Tõepoolest, see, et $\sigma_0 \in $Eqv$(A)$ on ilmne. Veendume, et $\omega \in \Omega_n$ korral $\left( a_i, b_i \right) \in \sigma_0 \implies  \left( \omega \left( a_i \right), \omega \left( b_i \right) \right)$. Olgu   $\left( a_i, b_i \right) \in \sigma_0$ , vastavalt definitsioonile siis $ \left( \pi \left( a_i \right), \pi \left( b_i \right) \right) \in \tau$, kuna $\tau$ on kongruents, siis ka $ \left( \omega \left( a_i \right) / \rho, \omega \left( b_i  \right) / \rho \right) \in \tau$, seega ka $ \left( \omega \left( a_i \right), \omega \left( b_i \right) \right) \in \sigma_0$. Viimase osa tõestuseks paneme tähele, et $A / \rho$ faktoriiseerimine $a / \rho$ järgi kitsendab ekvivalentsiklasse ning loomulik kujutus $\pi \colon A / \rho \to \left( A / \rho \right) / \left( \sigma / \rho \right)$ on homomorfism.  
\end{proof}

% III loeng

\begin{yksyhene_vastavus_faktoralgebra_kongruentside_vahel}
\label{yksyhene_vastavus_faktoralgebra_kongruentside_vahel}
Olgu $A$ $\Omega$-algbra ja $\rho \in $Con$\left( A \right)$. Siis on olemas sisalduvusega kooskõlas olev \"uks\"uhene vastavus faktoralgebra $A / \rho$ kõig kongruentside ja algebra $A$ kõigi nende kongruentside vahel, mis sisaldavad kongruentsi $\rho$
\end{yksyhene_vastavus_faktoralgebra_kongruentside_vahel}
\begin{proof}
{\color{red}k\"usi, ei tea}
\end{proof}

Igas hulgal $A$ on kaks erilist ekvivalentsiseosst: $\bigtriangleup_A$ ja $\bigtriangledown_A$. Esimene neist on võrdusseos hulgas $A$: $\bigtriangleup_A = \left\lbrace \left(a, a \right) | a \in A \right\rbrace$, teine aga kogu otsekorrutis $A \times A$. On selge, et $\bigtriangleup_A$ ja $\bigtriangledown_A$ on vastavalt vähim ja suurim ekvivalentsiseos hulgal $A$. Samuti on lihtne veenduda, et kui $A$ on $\Omega$-algebra, siis need kaks ekvivalentsiseost on selle algebra kongruentsid.
\begin{lihtne_algebra}
Algebrat, millel on täpselt kaks kongruentsi: $\bigtriangleup_A$ ja $\bigtriangledown_A$, nimetatakse lihtsaks.
\end{lihtne_algebra}

Järeldusest \ref{yksyhene_vastavus_faktoralgebra_kongruentside_vahel} tuleneb otseselt järgmine järeldus.
\begin{faktoralgebra_lihtne}
Faktoralgebra $A / \rho$ on lihtne parajasti siis, kui kongruents $\rho$ on maksimaalne.
\end{faktoralgebra_lihtne}

\section{R\"uhmade, ringide ja vektorruumid faktoriseerimine}

\begin{korvalklass}
Olgu $G$ r\"uhm ja $H$ tema alamr\"uhm. Siis hulki $aH = \left\lbrace ah | h \in H \right\rbrace$ ($Ha = \left\lbrace ha | h \in H \right\rbrace$), kus $a \in G$, nimetatakse alamr\"uhma $H$ vasakpoolseks (parempoolseks) kõrvalklassideks r\"uhmas $G$.
\end{korvalklass}

\begin{normaalne_alamryhm}
R\"uhma $G$ alamr\"uhm $H$ nimetatakse normaalseks, kui iga $a \in G$ ja $h \in H$ korral $a^{-1}ha \in H$.
\end{normaalne_alamryhm}

\begin{normaalne_siis_kui_aH=Ha}
R\"uhma $G$ alamr\"uhm $H$ on normaalne parajasti siis, kui iga $a \in G$ korral $aH = Ha$.
\end{normaalne_siis_kui_aH=Ha}

\begin{proof}
Olgu $H$ normaalne, s.t. $\forall a \in G$, $h \in H \implies a^{-1}ha \in H$. Fikseerime $a_0 \in G$, veendume, et $a_0 H = H a_0$. Olgu $z \in H \implies az \in aH$, $az = aza^{-1}a$. $H$ normaalsuse tõttu $y = aza^{-1} \in H$, seega  $az = ya$ ehk $aH \subset Ha$. Analoogiliselt saame näidata ka et $Ha \subset aH$.
Olgu n\"u\"ud $aH = Ha$ ja olgu $ah \in aH$, siis $\exists h' \in H \colon ah = h'a $. Korrutame mõlemat poolt $a$ pöördelemendiga, saame, et $aha^{-1} = h' \in H$. 
\end{proof}

\begin{kongruents_normaalne_alamryhm}
Kui $\rho$ on r\"uhma $G$ kongruents, siis $G$ \"uhikelementi sisaldav $\rho$-klass $1 / \rho$ on r\"uhma $G$ normaalne alamr\"uhm. Vastupidi, kui $H$ on r\"uhma $G$ normaalne alamr\"uhm, siis leidub täpselt \"uks r\"uhma $G$ kongruents $rho$, mille korral $ 1 / \rho = H$. Selle kongruentsi klassid on täpselt $H$ kõrvalklassid r\"uhmas $G$, täpsemalt, iga $a \in G$ korral $a / \rho = aH$.
\end{kongruents_normaalne_alamryhm}

\begin{proof}
Esimest poolt lihtne näidata: $\left(x,1 \right) \in \rho, \left( y, 1 \right) \in \rho \implies \left( x \cdot y, 1 \cdot 1 =1 \right), \left(x,1 \right) \in \rho \implies \left( x^{-1}, 1 ^{-1} = 1 \right) \in \rho$, $\left( a ^ {-1}, a ^ {-1} \right) \in \rho, \left( x, 1 \right) \in \rho, \left( a  , a  \right) \in \rho \implies \left( a^{-1}xa, a^{-1}1a = a^{-1}a = 1 \right) \in \rho$.
Teine pool:Olgu $H$ normaalne alamr\"uhm. Veendume, et kõrvalklassid on lõikumatud. Tõepoolest, olgu $aH \cap bH \neq \emptyset$. Siis leidub $c \in aH \cap bH$, s.t $c = ah_0 = bh_1$, seega $a = bh_{1}h_{0}^{-1} = b h_2 \in bH$, $z \in H, az = bh_{2}z = b h_3 \in bH$, analoogiliselt saame näidata teistpidist sisalduvust, seega $aH = bH$. 
Defineerime $a \rho_0 b \iff aH = bH$. Paneme tähele, et siis $ 1 / \rho = H$. Veendume, et defineeritu on kongruents: $a_iH = b_iH \implies a_i = b_ih_i$, siis $a_{1}a_{2} = b_{1}h_{1}b_{2}h_{2} = b_{1}b_{2} \left( b_{2}^{-1} h_{1} b_{2} \right) h_{2} = b_{1}b_{2}h_{0}h_{2} = b_{1}b_{2}h_{0} \in b_{1}b_{2}H$. {\color{red} Miks teisiti ei saa kongruentsi defineerida?}.
\end{proof}

See teoreem \"utleb, et iga r\"uhma $G$ korral on olemas \"uk\"uhene vastavus normaalsete alamr\"uhmade ja kongruentside vahel. Järelikult võime rääkida faktorr\"uhma moodustamisest sellele alamr\"uhmale vastava kongruentsi järgi. Seda arvestades jõuame järgmise definititsioonini.

\begin{faktorryhm} R\"uhma $G$ faktorr\"uhmaks normaalse alamr\"uhma $H$ järgi nimetatakse r\"uhma, mille elementideks on $H$ kõrvalklassid r\"uhmas $G$, kusjuures nende korrutamine toimub jargimse eeskirja kohaselt: $aH \cdot bH = (ab)H$. Seda r\"uhma tähistatakse $G/H$.
\end{faktorryhm}

Samuti, arvestades \"uks\"uhest vastavust r\"uhma kongruentside ja normaalsete alamr\"uhmade vahel võib r\"uhmade homomorfismi tuuma defineerida mitte kui kongruentsi vaid kui selle \"uhikelementi sisaldavat klassi. Nii r\"uhmateoorias ka tavaliselt tehakse.

Seega, kui $\phi \colon G \to H$ on r\"uhmade homomorfism, siis $\phi$ tuumaks nimetatakse $G$ normaalset alamr\"uhma $\left\lbrace x \in G | \phi(x) = 1 \right\rbrace$, mida tähistatakse Ker($\phi$).

Saame \"umber sõnastada kaks $\Omega$-algebrate jaoks tõestatud tulemust:

\begin{loomulik_kujutus_homomorfism}
Kui $H$ on r\"uhma $G$ normaalne alamr\"uhm, siis loomulik homomorfism $\pi \colon G \to G / H$ tuum on $H$.
\end{loomulik_kujutus_homomorfism}

\begin{homomorfismiteoreem}
Kui $\phi \colon G \to H$ on r\"uhmade s\"urjektiivne homomorfism, siis $G \simeq H / $Ker($\phi$),
\end{homomorfismiteoreem}

On lihtne näha, et Abeli r\"uhma kõik alamr\"uhmad on normaalsed. Seega, kui $A$ on Abeli r\"uhm (aditiivses tähednduses) ja $H$ tema alamr\"uhm, siis faktorr\"uhma $A/H$ elementides on kõrvalklassid $a + H$, kus $a \in A$ ja kõrvalklasside liitmine toimub reegil $ \left( a + H \right) + \left( b + H \right) = \left( a + b \right) + H$ kohaselt. Abeli r\"uhmade homomorfismi $\phi \colon A \to B$ tuum on aga Ker$ \left( \phi \right) = \left\lbrace x \in A | \phi(x) = 0 \right\rbrace$.  




% IV loeng

\subsection{Lagrange'i teoreem}

Lõpliku rühma järk( elementide arv) jagub tema iga alamhulga järguga.

\subsection{$\Omega$-algebrate otsekorrutis}

Viis kuidas saada mitmest algebrast uus algebra.

Võime defineerida funktsioonid, mis kirjeldavad jadasid. $ \phi : \mathbb{N} \rightarrow \cup_{i \in \mathbb{N}} A_i$, mis rahuldab tingimust $ \phi (i) \in A_i$, iga $i \in \mathbb{N}$ korral.

Projektsioonid - seavad jadale vastavuse mingi kindla elemendi. Tähistame $\pi _ i$. 

\paragraph{ 1.6.1}

\subparagraph{Tõestus}
$\omega \in \Omega_n, a^1 = (a_i^1)_{i \in I},..., a^n = (a_i^n)_{i \in I} ...$ 

\subsection{Võred}

\paragraph{(Osaliselt) Järjestatud hulk} 

Binaarne seas, mis on reflektsiivne, transitiivne ja antis\"meetriline. Lineaarselt järjestatud hulk on selline, kus iga element on mingis seoses iga teisega.

\paragraph{Teoreem 2.2.1}

\subparagraph{Tõestus}

4) Neeldevus (absorbtion)

Tarvilikkus:

$x \leq y \iff x = x alumineraja y$

\section{Loeng V}

$[a,b] = \{x \in L | a \leq x \leq b \}$

$Con(A/\rho) \leftarrow \rightarrow \{\sigma \in Con(A) | \rho \leq \sigma \}$

\paragraph{Teoreem 2.2.2}

Distributiivsed võred. 

\paragraph{Lause 2.3.1}

Ahelad on distributiivsed võred.

\paragraph{Lause 2.3.2}

Tähtis distributiivne võre $(P(A); \
intersection; union)$

Isendega duaalsus.

\paragraph{Lause 2.3.3}

\paragraph{Järeldus 2.3.1}

\paragraph{Teoreem 2.3.1}

Võre on modulaarne parajasti siis, kui ta ei oma võrega $N_5$ isomorfset alamvõret. Modulaarne võre on distributiivne parajasti siis, kui ta ei oma võrega $M_3$ isomorfset alamvõret.

\begin{proof}
Võrk on modulaarne $ \implies $ võrk ei ma $N_5$ isomorfset alamvõret. 
$\forall a,b,c \in L$
$a \leq b \implies a ylemineraja ( b alumine raja c )= b alumeine raja (a ylemine raja c)$ Vastuolu!


\end{proof}

\subparagraph{Tõestus}

Riina esitab seminaris.

\paragraph{Teorem 2.4.1}
Võre on distributiivne parajasti siis, kui ta on isomorfne mingi hulga kõigi alamhulkade võre mingi alamvõrega. 

\paragraph{Definitsioon 2.4.1}
Võre mittetühja alamhulka F nimetatakse filtriks, kui ta on kinnine alumise raja võtmise suhtes ja koos iga elemendiga $a$ sisaldab ka võre $L$ kõik elemendist $a$ suuremad elemendid.

\subparagraph{Märkus}
Filtri ja algfiltri duaalsed mõisted on vastavalt ideaal ja algideal.

\paragraph{Definitsioon 2.4.2}
Võre $L$ filtrit $F$ nimetatakse algfiltriks, kui sellest, et $a V b \in F$, kus $a,b \in L$, järjeldub
$a \in F$ või $b \in F$. Algfilter $F \neq L$. 

\paragraph{Zorni lemma}
Olgu meil järjestatud hulk $A$. Eeldame, et iga hulga $A$ alamhulk omab ülemist tõket hulgas $A$. Siis sellest järeldub, et $A$ omab vähemalt ühte maksimaalset elementi. $C \subset A alamhulk: x,y \in C \implies x \leq y \lor y \leq x$.

\paragraph{Lause 2.4.1}
Distributiivse võre iga kahe erivena elemendi jaoks leidub algfilter, mis sisaldab täpselt ühte neist kahest. 

\subparagraph{Tõestus}


\paragraph{Teoreem 2.4.1}
Võre on distributiivne parajasti siis, kui ta on isomorfne mingi hulga kõigi alamhulkade võre mingi alamvõrega

\subparagraph{Selgitus}
Olgu L distributiivne võre. Vaja ledia hulk A ja \"uks\"uhene homomorfism $\Phi : L \rightarrow P(A), \Phi(L) \leq P(A), L isomm \Phi(L)$. 

\subparagraph{Tõestus}

\section{R\"uhmad}

\subsection{Faktorr\"uhma faktoriseerimine}

\paragraph{Isomorfismiteoreem}
Olgu $H$ rühma $G$ normaalne alamr\"uhm, B r\"uhma G alamr\"uhm ning A r\"uhma B normaalne alamr\"uhm. Siis $BH/AH isom B/(A(B yhisosa H))$.

\paragraph{Järeldus 3.2.1.}
Olgu $H$ r\"uhma G normaalne alamr\"uhm ja $A$ r\"uhma G alamr\"uhm. Siis $BH/H isom B/(B yhisosa H)$.

\paragraph{Teoreem 3.2.2. (Zassenhausi lemma)}
Kui $H,H',K$ ja $K'$ on rühma G alamrühmad, kusjuures $H'$ on normaalne alamr\"uhm r\"uhmas $H$ ja $K'$ on normaalne alamr\"uhm r\"uhmas K, siis

$(H yhis K)H'/(H yhis K')H' isom (K yhis H)K'/(K yhis H')K'$.

\subparagraph{Tõestus}

Idee: näitame, et mõlemad on isomorfsed $H yhis K / (H' yhis K)(H yhis K')$.
$H'(H yhis K) / H'(H yhis K') isom H yhis K / (H' yhis K)(H yhis K')$.
Kasutame isomorfismiteoreemi. Võtame $B$ rolli $H yhis K$, $H$ rolli sobib  $H'$, $A$ rolli võtame $H yhis K'$. Lisaks vaatama $G$ rollis $H$-d. Kas $h yhis K' normaalne alamryhm H yhis K$?

\subsection{Normaal- ja kompositsioonijadad}

\paragraph{Schreieri teoreem} Antud r\"uhmas suvalised kaks normaaljada omavad ekvivalentseid tihedusi.

\subparagraph{Tõestus}
$\{1\} = H_0 <d H_1 <d H_2 ... H_m= G$

$\{1\}] K_0 <d K_1 <d K_2 ... <d H_n = G$

Defineerime $H_{ij} = H_i(H_{i+1} yhisosa K_j)$ ja $K_{ji} = K_j (K_{j+1} yhisosa H_i)$. 


Miks $H_{ij} <d H_{i,j+1}$ ?


Miks $H_i( H_{i+1} yhisosa K_j) <d H_i(H_{i+1} yhisosa K_{j+1})$ ?

\paragraph{Näide}

Olgu $ m=2, n =3$. Siis peavad eelneva põhjal ekvivalentsed olema $H_0 = H_{00} \leq H_{01} \leq H_{02} \leq H_{03} = H_1=H_{10} \leq H_{11} \leq H_{12} \leq H_{13} = H_2 = G$ ja $K_0 = K_{00} \leq K_{01} \leq K_{02} = K_1 = K_{10} \leq K_{11} \leq K_{12} = K_{2} = K_{20} \leq K_{21} \leq K_{22} = K_3 = G$.

Veenduda Sachenhausi lemma põhjal. 

$H_{01} / H_{00} isomorfne K_{01} / K_{00}$

$H_{02}/ H_{01} isomorfne K_{11}/K_{10}$

$H_{03}/ H_{02} isomorfne K_{21}/K_{20}$

$H_{11} / H_{10} isomorfne K_{02}/K_{01}$

$H_{12} / H_{11} isomorfne K_{12}/K_{11}$

$H_{13} / H_{12} isomorfe K_{22}/K_{12}$

\section{Lihtsad r\"uhmad}

\paragraph{Lause 3.4.1 Abeli rühm on lihtne siis ja ainult siis, kui tema järk on algarv}

\subparagraph{Tõestus}
Kuna alamrühma järk jagab rühma järke, siis algarvulise järguga rühmal saab olla ainult 2 alamrühma - kogu rühm ja 1 elemendiline rühm.

Teistpidi, olgu $A$ lihtne Abeli rühm. $(A,+)$,$0 \neq a \in A$, $ \{na | n \in \mathbb{Z}\}$. Kusjuures, kui $n >0 $ siis $na = a + a + .... + a$, kui $n=0$ siis $0a = 0$. Ja kui $n < 0$ siis $(-n)*a = -(na)$. Elemendi A poolt tektitatdu ts\"ukliline alamr\"uhm. Abeli rühma alamr\"uhm on lihte, seega $A = < a >$. 

\paragraph{Teoreem 3.4.1 Kui $n = 3$ või $n \geq 5$, siis rühm $A_n$ on lihtne }
   
\paragraph{Teoreem 3.4.2} Kui $n > 2$ või $n=2$ ja $|K| > 3$, siis projektiivne spetsiaalne lineaarr\"uhm PSL(n,K) on lihtne. 

\section{Lahenduvad rühmad}

\paragraph{Definitsioon 3.5.1.} R\"uhma, mis omab normaaljada, mille kõik faktorid on Abeli rühmad, nimetatakse lahenduvaks.

\paragraph{Teoreem 3.5.1} Lahenduva r\"uhma alamrühmad ja faktorrühmad on lahenduvad.

\subparagraph{Tõestus} Olgu meil lahenduv rühm $G$. Kehtigu $\{1\} = H_0 <d H_1 <d H_2 <d ... <d H_m = G$. $H_{i+1}/H_i $ on Abeli rühm $i=0,...,n-1$. 

$A \leq G $, $ A_i = A yhiosa H_i$, $A_0 = A yhisosa \{1\} = \{1\}$, $A_n = A yhisosa G = A$, $i \leq j \implies A_i \leq A_j$. 

\paragraph{Teoreem X} Iga paaritu arvulise järguga rühm on lahenduv

\subparagraph{Tõestus}
Olgu $|G|$ paaritu. $\{1\} = H_0 <d H_1 <d H_2 <d ... <d H_n = G$. Kõik jada faktorit lihtsad lõplikud rühmad. Alamrühma järk jagab rühma järku $\implies$ alamr\"uhmade järgud on paaritud. 

\section{Faktorringi faktoriseerimine}

\paragraph{Lause 4.1.1} Kõik korpused on lihtsad ringid. Iga lihtne kommutatiivne ring on korpus. 

\subparagraph{Tõestus} $\{0\} \neq I <d K$. $I$ - ideaal. ...

\paragraph{Lause 4.1.2} Täielik maatriksring $Mat_n (K)$ on lihtne iga naturaalarve $n$ ja korpuse $K$ korral. 

%yks loeng puudu

AlI - iga vektorruum omab baasi lõplikul juhul
lõpmatu mõõtmelise baasi lin sõltumatus - kõik lõpblikud alamhulgad sõltumatud.
T.4.4.2
$S = \left\{ X | X \subset V, X on lin. soltumatu \right\}$
Zorni lemma eeldute kontroll.
$\left\{ X_i | i \in I \right\}$, $X_i \in S$ Otsime suurimat elementi
$X = \sup_{i \in I} X_i$. Kas $X$ kuulub hulka $S$?
...
Zorni lemma eeldus täidetud.
$S$ omab maksimaalset elementi, olgu selleks $Z$. $Z$ on $V$ baas ? 
Valime $v \in V$, kas $v \in L(Z)$. Oletame, et $v \not \in V$, siis $Z \sup \left\{ v \right\}$ on lin sõltumatu, see on aga vastuolu.

$V$ vektorruum \"ule $K$
$ei, i \in I$ -$V$ baas.
$V isom ringpluss \sum \limits_{i \in I} K_i$
$ringpluss \sum \limits_{i \in I} K_i = \left\{ (k_i)_{i \in I} | k_i \in K, | \left\{ j \in L | k_j = 0 \right\} | < \infty \right\}$

defineerime $\phi: V \to ringpluss \sum \limits_{i \in I} K_i$ nii, et $\phi(v) = (l_i)_{i \in I}, l_i = \begin{cases} k_i, \text{kui} i \in \left\{ i_1,i_2,...,i_n \right\} \\
0, \text{kui} i \not \in \left\{ i_1,i_2,...,i_n \right\}
\end{cases}$

\section{Ringide esitused ja moodulid}
D 4.5.1

$A$ Abeli r\"uhm, End$(A)$ on r\"uhm. Liitimine defineeritud kui $\left( \phi + \psi \right) \left( a \right) = \phi \left( a \right) + \psi \left( a \right)$. 

T 4.5.1
$\phi : R \to End(M;+)$, iga $r \in R$ kollab tekib loomulik kujutus $l_2: M \to M, x \to rx$. Sellest võime mõelda kui vasaknihkest.  $\phi \left( r \right ) = l_r$. Veendume, kas definitsioon on korrektne. Esiteks, kas $l_r \in \text{End}(M;+)$ ? $l_2 (x +y ) = r (x + y ) = rx + ry = l_r(x) + l_r(y)$. Veel, $\phi(rs) = \phi(r) * \phi(s)$, $\phi(1) = 1_M$, $l_{r+s} = l_r + l_s$.

D 4.5.2

$\phi: R \to \text{End}(A)$. Oletame, et $\phi$ on \"uks\"uhene, oletame, et $r$ kuulub Ker$(\phi)$, $\phi(r) = 0 = \phi(0) \implies r=0$, seega Ker$(\phi)$  ....

R-moodul M on täpne $\implies$ vastav esitus on täpne. $\phi : R \to \text{End}(M;+)$, $\phi(r) = l_r$, Ker$(\phi) = \left\{ 0 \right\}$, $l_r(x) = 0 \forall x \in M \iff r=0$

T 4.5.2
$R isom \phi(R) \leq \text{End} \left( M;+ \right)$.

Ainult null element anuleerib kõik mooduli elemendid. 

\section{Abeli r\"uhmad}
POLE SLAIDIL! 
Idee: näidata, et mooduli ehitus võib olla keerulisem. 

Tsükliline $R$-moodul 

Def. $R$-moodulit nimetatakse ts\"ukliliseks, kui ta on tekitatud \"uhe elemendi poolt. 

Olgu $M$ ts\"ukliline $R$-moodul, see tähendab $\exists a \in M, M = < a >$. $M = Ra = \left\{ ar | r \in R \right\}$. $RA \subset < a > $. $ra + sa = (r + s) a$, $s(ra) = (sr)a$. $a = 1 * a \in Ra$. 

L. Iga ts\"ukliline $R$-moodul on isomorfne $R$-mooduli $R$ faktormooduliga. 

\begin{proof}
$M = Ra$.
$\phi: R \to Ra$.
$\phi(r) = ra$.
Kontrollida homomorfismi. S\"urjektiivne, homomorfismi teoreemi põhjal $M$ isomorfne $R/ \text{Ker} \left( \phi \right)$.

\end{proof}



L 4.5.1

% 20.03.13

$A \simeq \mathbb{Z}_{k_1} +ring ... +ring \mathbb{Z}_{k_n}$

$k,l \in \mathbb{N}, \text{S\"UT}(k,l)=1$
$\mathbb{Z}_{kl} \simeq \mathbb{Z}_k +ring \mathbb{Z}_l$
$\phi(\overbrace{x_kl}) = (\overbrace{x_k},\overbrace{x_l})$
....
$phi bijektsioon$ 
$|\mathbb{Z}_kl| = kl = |\mathbb{Z}_k +ring \mathbb{Z}_l|$

Lemma 4.6.1

Tõestus:
$M$ -[täpne] taandamatu(=lihtne) $R$-moodul
$ K = End_{R}M $, $(K,+,*)$, $ \phi,\psi \in K $, liitmine punktikaupa, korrutamine järjest rakendamine. 
Fikseerime $0 \neq \phi \in K$, $\phi(M) = \left\{ \phi(m) | m \in m \right\}, {0} \neq \phi(M) \leq M /implies (eeldus, lihtne) \phi(M) = M$. Uurime $\phi$ tuuma. Ker$\phi = \left\{x \in M | \phi(x) = 0 \right\}$. Ker$\phi \neq M \implies $Ker$\phi = \left\{ 0 \right\} \iff \phi $ on bijektsioon.

 L 4.7.1
 
 T 4.7.1
 
 Tõestus : $M$ täpne taandumatu $R$-mooduls.
 $K = $End$_{R}M$, $k^M$ ruut... , $f \in End_{k}M, S \subset M$ - lõplik, $\exists a \in R \forall s \in S f(s) = rs$. S võib kästleda kui lõpliku mõõtmelise moodustjaga alamruumi. 
 Tõestuse idee: induktsiooni alamruumi mõõtme järgi. Baas : $S = \left\{ 0 \right\}$.
 $X \subset M$, $\left\{ a \in R | \forall x \in X ax = 0 \right\} = $Anh$(X) = X^tagurpidiT$
 $ Y \subset R$.$\left\{ m \in M | \forall y \in Y my = 0 \right\} = $Anh$(Y) = Y^tagurpidiT$
 S lõplik alamruum , $f \in$End$_{k}M \implies r \in R, \forall s \in S, f(s) = rs$, $(f - r)- = 0$. $(f-r)S = 0$. 
 
Tehniline abvahend induktsiooni jaoks: $(S^{tagurpidiT})^tagurpidiT =S$
Olgu väide tõestatud $S$ jaoks, $a \in M\S$, $T = S + Ka = \left\lbrace s + ka | s \in S, k \in K \right\rbrace$.
 
$dim_{K}T = dim_{K}S+1$

$f \in End_{K}M$
$r \in R, (f - r)S = 0$
leida $r' \in R$, nii et $(f - r')T = 0$, $b = (e -r)e$, leida $u \in R$, nii et $nS = 0 $ ja
$ na = b $. $S^{tagurpidiT}a \subset M$, $S \subset M \implies S^{tagurpidiT} \subset R$. 
Kas $S^{tagurpidiT}a \leq_R M$? $x,y \in S^{tagurpidiT} \implies x,y \in S^{tagurpidiT}$, $s \in S, xs = ys = 0 \implies (x + y)a \in S^{tagurpidiT}a$.
$x \in S^{tagurpidiT}, r \in R, s \in S$, $(rx)s = r(xs) = r0 = 0 \implies rx \in S^{tagurpidiT}, ...$ 

1) $S^{tagurpidiT} a = M$
2) $S^{tagurpidiT} a = \left\lbrace 0 \right\rbrace$. 

$a \in (S^{tagurpidiT})^{tagurpidiT} = S$, vastuolu. 
$t \in T$, $t = s + ka $, $s \in S$, $k \in K$
$(r + u)t = (r + n)(s +ka) = rs + r(ka) + ns + n(ka) = f(s) = k(ra + na) = f(s) + k(ra + (fa) = f(s) + (ka) = f(s - ka) = f(t), r' = r + n$.
Jääb näidata, et $T^{tagurpidiT tagurpidiT} = T$.

$T ?= T^{tagurpidiTtagurpidiT} $
$T \leq M$
$T^{tagurpidiT} \subset R$
$T^{tagurpidiTtagurpidiT} \subset M$
$T subset T^{tagurpidiTtagurpidiT}$ ilmne
$ T^{tagurpidiTtagurpidiT} ?subset T$

$T = S + Ka$
$a \in M \\ S$
$K = End_R M$
$S^{tagurpidiTtagurpidiT}=S$
$b \in (S^{tagurpidiT} yhisosa a^{tagurpidiT})^{tagurpidiT} \subset M$
$\phi : S^{tagurpidiT}a \to S^{tagurpidiT}b$
$\phi(xa) = xb, x \in S^{tagurpidiT}$.
$S^{tagurpidiT}a = \left\lbrace xa | x \in S^T \right\rbrace \leq_R M$
$S^{tagurpidiT}b \leq_R M$
$x,y \in S^{tagurpidiT} \implies x -y \in S$
$xa = ya \implies x-y \in a^{tagurpidiT} \implies x-y \in S^{tagurpidiT} yhisosa a^{tagurpidiT} \implies (x-y)b = 0$
....

Teoreem 4.8.1

\begin{proof}
$1) \implies 2)$
$R primitiivne Artini ring$
$M - t2pne taandumatu R-moodul$
$K = End_R  korpus$ (\"uldises mõttes)
$\phi: R \to End_K M$
$\phi(r) = l_r$
$M $ - ruutvorm \"ule K.
$K^M$ - lõplikumõõtmeline ?
Oletame, et leidub $e1,e2,e3,.... $ lineaarselt sõltumatu s\"usteem vektorruumis $K^M$. 
$S_i=<e_1,e_2,...> \leq K^M$.
$A_1 = S_i^{tagurpidiT} = \left\lbrace x \in R | x S_i = 0 \right\rbrace , i = 1,2,3....$
$\forall i \exists \phi \in End K^M , \phi(e_i) = 0, \phi(e_{i+1}) \neq 0$
$A_i \ A_{i+1} \exists r \in R, ....$
$A_i - R vpidevad i=1,2,3,..$
$A_1 \not ... A_2 $
$e1,...,en - K^M baas$
$f \in End K^M$
$\exists r \in R r e_i = f(ei), i=1,2,3...,n$
$l_2 = \phi(r)=f$.

$2) \implies 3)$
Olgu $Mat_n(K), K$ korpus.
Väide: $R$ on lihtne.
$\left\lbrace 0 \right\rbrace \neq I normaalnealamruhm R \implies I = R$.
$\exists A = (a_{ij}) \in I$
Toome sisse maatriksid $E_{ij} =
\begin{cases}
e_{ij} = 1 \\
e_{kl} = 0, k \neq i voi l \neq j
\end{cases}
E_{ij}A = A 1 rida
AE_{ij} = A 1 veergi
E_{kk}AE_{ll} = a_{kl}E_{kl}$
$a^{-1}_{kl}EE_{kk}AE_{ll} = E_{kl}$
$E_{ij}E_{jm}=E_{im} \forall i,j \in E_{ij} \in I$
$\forall \alpha \in K \forall i,j \alpha E_{ij} \in I$

$3) \implies 1$
Olgu $r$ lihtne Artini ring, näitame, et ta on primitiivne.
$R$ on vasakpoolne moodul \"ule iseenda. Selle $R$-mooduli alamoodulid on parajasti $R$ vasakpoolsed ideaalid. Kasutame Artini tingimust, kuna $R$ on Artini ringi siis $R$ omab minimaalset vasakpoolset ideaali (Ei ole nullideal). $\left\lbrace 0 \right\rbrace \leq L \leq K$. $L - vp ideaalid \implies L = \left\lbrace 0 \right\rbrace voi L = \left\lbrace K \right\rbrace$.
$K - R$-moodul, $K$ on lihtne R-moodul. Kas $R$-moodul $K$ on täpne? Vaatame hulka $I$ = Anh$K = \left\lbrace x \in R | x K = 0 \right\rbrace$. $I$ on $R$ vasakpoolne ideaal, veendume, et $I$ on ka parempoolne ideaal. $x \in I, r \in R$, kas siis $xr \in I$? $(xr)k = x(rk) = 0$, siis kas $I = \left\lbrace 0 \right\rbrace$ või $I = R$. $I = R \implies R \cdot K = \left\lbrace 0 \right\rbrace$...
\end{proof}

Def Ringi nimetatatkse poollihtsaks, kui tema taandumatute moodulite annullaatorite \"uhisosa on null.

Poollihtsat Artini ringi nimetatakse klassikaliselt poollihtsaks ringiks.

Primitiivne ring on poollihtne.

$R \to \text{End}(M;+)$
$\forall i ~ R \to (\phi_i) \text{End}(M_i;+)$
$\phi: R \to \text{End}(M_1;+) !otsekorrutis ... !otsekorrutis \text{End}(M_n,+)$.

$\phi(r) = 0  \iff (\phi_1(r),\phi_2(r),...,\phi_n(r))= (0,0,...,0)$

$\phi(R) \leq \phi_1(R) !otsekorrutis \phi_2(R) !otsekorrutis ... !otsekorrutis  \phi_n(R)$

Teoreem 4.8.2 (Artin-Weddenburni teoreem) Ring on klassikaliselt poollihtne parajasti siis, kui ta on isomorfne lõpliku arvu lihtsate Artini ringide otsekorrutisega.

\begin{enumerate}
\item Primitiivne ring on poolihtne
\item Primitiivne ringide otsekorrutis on poolt\"uhi ring
\begin{proof}
Tõestus
Olgu $R = R_1 !otsekorrutis ... !otsekorrutis R_N$, $R_i - primitiivsed ringid$, $M_i$ täpne taandumatu $R_i$-moodul.
$M_1, m \in M_1, r \in R, r = (r1,...,r2), r_i \in R_i$, $rm = r_1m$, $l_r : M \to M$.

$R^{M_1}$ alamoodulid on mooduli $R_{1}^{M_1}$ alusmooulid ja vastupidi.

$R \leq \cap Am R^{M_i}, r = (r_1,...,r_n)$

$m \in M_i, 0 = rm  = (r1,...,rn)m = r_im \implies r=0$
\end{proof}
\item Olgu $R$ ringide otsekorrutis, $R = R_1 !otsekorrutis ... !otsekorrutis R_n$. Moodul $R$ vasakpoolsed (parempooled, kahepoolsed) on parajasti $R$ alamhulgad kujul $X_1 !otsekorrutis ... !otsekorrutis X_n$, kus $X_i \text{on} R_i$ vasakpooled ideaalid.
\begin{proof}
$X_i -R_i ... $
$X \text{on} R_1 !otsekorrutis ... !otsekorrutis R_n$ vasakpoolne ideaal.
$\pi_{i} : R \to R_i, \pi_i(r_1,...,r_n) = r_i$, 
$X_i = \pi_i(X)$, $i \in \left\lbrace 1, 2, ..n \right\rbrace$.
$X = X_1 !otsekorrutis ... !otsekorrutis X_N, \leq on ilmne$, $x \in X, x = (x_1,...,x_n), x_i \in R_i$, $x_i = \pi_i(x) \in X_i$.
$X_i on R_i$ vasakpoolsed ideaalid ?
$r_i \in R_i, x_i \in X_i$. Kas $r_i x_i \in X_i$ ?
$ r = (0,...,r_i,0,...,0) \in R$
$ x = (x_1,...,x_i, ..., x_n) \in X$
$rx = (0,...,0,r_1x_i,0,...0) \in X$
$r_{i}x_{i} \in X_i$
Kas $X_1 !otsekorrutis ... !otsekorrutis \subset X$? Valime suvalise elemendi $(X_1,...,X_n) \in X_1 !otsekorrutis ... !otsekorrutis X_n$. Kas sellest järeldub, et $ (x_1,0,...,0) \in X$?
$(x_1,x_{2}',...,x_{n}') \in X, x_{2}' \in R_{j1} \geq 2$.
$(1,0,...,0)(x_1,x_{2}',...,x_{n}') = (x_1,0,0,....0) \in X$.
\end{proof}
\item Lõpliku arvu Artini ringide otsekorrutis on ka Artini ring.
\begin{proof}
Olgu $R1,...,R_n$ Artini ringid, $R = R_1 !otsekorrutis ... !otsekorrutis R_n$. $X^{\left(1 \right)} \subset X^{\left( 2 \right)} \subset ... \subset X^{\left( n \right)}$ - kahanev vasakpoolsete ideaalide jada. $X^{\left(j \right)} = X^{\left(j \right)}_1 !otsekorrutis ... !otsekorrutis X^{\left(j \right)}_n, X_{i}^{\left( j \right)} ......$
\end{proof}
\item Kui meil on $L$ minimaalne vasakpoolne ideaal, kusjuures $L^2 \neq 0$, siis leidub $1 \in L$, nee et $e = e^2$ ja $L = Le = R e_{n}$.
\begin{proof}
$L^2 \neq 0 \implies \exists a \in L , La \neq 0$, $La \subset L$, $La$ on mooduli $R$ vasakpolone ideal - $x \in La$, $r \in R, \exists y = ya, rx = r(ya) = (ry)a \in La$, sest $ry \in L$. 
Kas $La = L$? $\exists e \in L, ea= a$.
$ea = e(ea) = e^2a, (e-e^2)a = 0, e-e^2 \in \text{Anh} \left( a \right) !yhisosa L$ vasakpoolne ideaal.
$\left\lbrace x \leq R | xa = 0 \right\rbrace$, $R v.p ideaal$ .....
\end{proof}
\item Kui $I$ on Artini ringi minimaalne ideaal ja $I^2 \neq 0$, siis leidub $e \in I$, nii et $e' = e$ ja $\forall x \in I$, $exe=x$.
\begin{proof}
$L \subset I$, vähim vasakpoolne ideaal. 
Veendume, et $L^2 \neq 0$. Kõigepealt, $LI \neq 0$. Kui $LI =0$, siis $L \subset \text{Anh}\left( I \right) !yhisosa I$, $\text{Anh} \left( I \right)$ on $R$ vasapoolne ideaal.
$ x \in \text{Anh} \left( I \right), r \in R$
Kas $xr \in \text{Anh} \left( I \right)$? Olgu $y \in I$,  $(xl)y  = x(ly) = 0$, kuna $x in \text{Anh} \left( I \right)$. 
$\text{And} \left( I \right) !yhisosa I$, I on vähim ideaal, yhisosa on ideaal, järelikult $\text{Anh} \left( I \right) !yhisosa I = I$....
Kas $R e_1 + R e_2 + ... + Ren = I$?
Kuna $e_3 (e_1 + e_2 - e_{1} e_{2}) ...$
$I = R e_{1} !otsesumma (\text{Anh} \left( e_1 \right) !yhisosa I )$
\begin{enumerate}
\item $R e_1 !yhisosa (\text{Anh} \left( e_1 \right) !yhisosa I ) = \left\lbrace 0 \right\rbrace$
\item $I = R e_1 + (\text{Anh} \left( e_1 \right) !yhisosa I )$
\end{enumerate}
$\text{Anh} \left( e_1 \right) !yhisosa I = R e_2 !otsesumma (\text{Anh} \left( e_1, e_2 \right) !yhisosa I )$
$\text{Anh} \left( X \right) = \left\lbrace r \in R | \forall x \in X rx = 0  \right\rbrace$
$\text{Anh}_v(X)$ - vasakapoolne anhilaator
$\text{Anh}_p(X)$ - parempoolne anhilaator
Olgu $I = Re, e^2 = e $
$R = I !otsesumma \text{Anh}_v (e), j := \text{Anh}_v (e) $
$ x \in I$
$ex -x \in I$
Kas $ex - x = 0 $?
$y \in I$
$\exists l \in R , y = re$
$y \left( ex - x \right) = re \left( ex - x \right) = r e^2 x - r e x = 0$
$ex - x \in \text{Anh}_p(I) !yhisosa I$
Kas $\text{Anh}_p(I) !normaalne_alamryhm R$?
$x \in \text{Anh}_p(I)$
$y \in I, r \in R$
$y \left( rx \right) = \left( yr \right) x = 0 $, kuna $\left( yr \right) \in I$...
$I = eRe = eIe$,
$eIe \subset eRe \ subset I$
$x \in I, x = xe = e(xe)$
...
$1 \in R$
$ 1 = a - b, a \in I, b \in J$
$x \in R, x = y + z, y \in I, z \in J$
$x = x \cdot 1 = (y+z)(a+b) = ya + yb + za + zb$, $yb,ze \in I !yhisosa J \implies yb,za = 0$, $ya + yb + za + zb = ya + zb$, $ya \in I, zb \in J \implies y = yb ,  z = zb$. Sarnase arutluskaigu alusel, $y = ay, z = bz$, seega $a=e$,...
$R !isomeetriline I !otsekorrutis J$
$x \to (y,z), (y,z) \to x$
\end{proof}
\item Teoreemi toestus
\begin{proof}
Olgu $R !isomeetirilne Mat_{m_1}(K_1) !otsekorrutis ... !otsekorrutis Mat_{m_n}(K_n)$
Kas $R$ on klassikaline poollihtne ?
\begin{enumerate}
\item $R$ on Artini ring
Kas $R=Mat_{m}(K)$ on Artini ring ?
$L \subset R$, vasakpoolsed ideaalid, $A \in L$, $\alpha \in K$, $(\alpha E)A = \alpha EA = \alpha A \ in R$...
\item $R$ on poollihtne
Piisavus
$\exists $täpne taandumatu $R_i$ maadul $M_i$, $i \in \left\lbrace 1,2,...,n \right\rbrace$.
$i = 1$.
$x \in M_1, r \in R$
$r = \left( r_1,...,r_n \right)$
$rx := r_1 x $
$R$-moodul $M_1$ alammoodulid $=$ $R_1$ moodul $M_1$ alammoodulid.
$!yhisosa !limits_{i=1}^n  \text{Anh}_R (M_i) = \left\lbrace 0 \right\rbrace$
$r \in R, r \in !yhisosa !limits_{i=1}^n  \text{Anh}_R (M_i)$...
Tarvilikus
Eeldame, et $R$ on klassikaliselt poollihte ring.$R$ on Artini ring (vastavalt defile).
$I !normaalnealamryhm R$, $I$ minimaalne vasakpoolne ideaal. Kas $I^2 \neq 0$. Eeldame vastuväiteliselt, et $I^2 = 0$. 
$\exists$ taandumatu $R$-moodul M, nii et $IM \neq 0$. (Muidu vastuolu millegagi)
$\exists m \in M, Im \neq 0$, siis $Im$ on $R$-mooduli $M$ alammoodul. Kaks võimalust, kas $Im = M$, $Im = \left\lbrace 0 \right\rbrace$, teine variant eelduse kohaselt ei sobi. Vaatleme esimest varianti, olgu $a \in M, x \in I$, $\exists y \in I, a = ym$, $xa = x \left( ym \right) = \left( xy \right) m = 0m = 0 \implies IM = 0$, mis on vastuolu.
Saame kasutada eelnevalt tõestatud.
\end{enumerate}
$R !isomeetriline I !otsekorrutis J$
$R = I !otsesumma J$, $J !normaalnealamryhm$
$I$ on ... Artini ring.
On Artini Ring?
$L \subset I, I$ on vasakpoolne ideaal.
$x \in Z, r \in R, r = a +l, a \in I$
$rx = (a +b)x = ax + bx = ax \in L$
$L$ - $R$ minimaalne vasakpoolne ideaal,... $I$-s.
$IL \neq 0$, $L$ - taandumatu $R$-moodul.
L on vaadelduav kui $I$-moodul.Kas $I$-moodul on täpne ja taandumatu ?
$0 = l \in L$. Kas $Il = L$? , $IL$ on $R$-vasakpoolneideaal, järelikul $Il = L$, kuna puuduvad mittetirivaalsed $R$-vasakpoolsed ideaalid. Kas $\text{Anh}_I \left( LI = \left\lbrace 0 \right\rbrace \right)$?
$\text{Anh}_R \left( R \right) !yhisosa I !normalanealamryhm i \subset I$, peab olema $I$. 
$R = R_1 !otsekorrutis T_1, R_1 = Mat_{m_1} \left( K_1 \right) , Anh_{R} R_1 = T_1 $
\end{proof}
\end{enumerate}

\section{Väändeta ja perioodiline Abeli r\"uhmad}

Olgu $A$ Abeli r\"uhm. Siis iga element $a \in A$ moodustab $A$ alamr\"uhma - $<a> \leq A$. $0$ järk on 1.

def perioodiline - r\"uhm on perioodiline, kui tema kõik elemendid on lõpliku järku.

def R\"uhm, mille kõIk elemendid peale \"uhikelemine on lõpmatut järku, nimetatatkse väändeta r\"uhmaks.

def Segar\"uhm ei ole kumbagi.

Näited
$(R;+)$ väändeta rühm?
Koik lõplikud r\"uhmad on perioodilised.

$Z_n !isom A_i , i \in I$ (Lõpmatu). $!otsesumma \sum \limits_{i \in I} A_i$ - lõpmatu perioodiline r\"uhm.
$R* = R \\ \left\lbrace 0 \right\rbrace , (R*,\cdot) , -1$ rikub ära ja teeb segar\"uhmaks. $(C*,\cdot) \alpha \in C* \exists n \in N \alpha n = 1$.

def R\"uhma $A$ perioodiliseks osaks nimetatakse tema kõigi lõpliku järku elementide hulk.

lause Abeli r\"uhma perioodiline osa on selle r\"uhma alamr\"uhm. 

\begin{proof}
$(A;+)$ Abeli r\"uhm.
$T(A)$ - A perioodiline osa.
$a,b \in T(A)$.
$a \in T(A) \iff \exists n \in N , na=0$
$\exists m,n \in N, ma = 0 = nb$
$ms \in N$
$mn(a+b) = mna + mnb = n(ma) + m(nb) = 0$
$a + b \in T(A)$.
\end{proof}

Lause Abeli r\"uhma faktorr\"uhm on oma perioodilise osa järgi on väändeta r\"uhm.

\begin{proof}
$(A;+)$ Abeli r\"uhm.
$a \in A, a + T(A) \in A / T(A)$
$a \not \in T(A)$. 
$ n \in N, n \left( a + T \left(A \right) \right) = 0 + T(A)$
Samas, $na + TA = n \left( a + T \left(A \right) \right)$, $na \in na - 0 \in T(A)$.
$\exists n \in N (mn)a=m(na) = 0.$
\end{proof}

$A$ Abeli r\"uhm.
$B \leq A$
$A = B !plusspunkt T(A)$
$B !isomorfne A / T(A)$

$p$ algarv

def Abeli r\"uhma $p$-komponendks nimetatakse selle r\"uhma kõigi nende elementide hulka mille järk on $p$ aste.

Lause. Abeli r\"uhma kõik $p$-komponendid on selle r\"uhma alamr\"uhmadega.

\begin{proof}
$T_p (A) $- $A$ $p$-komponent.
$a,b \in T_p (A)$.
$a$ jark $p^m$
$b$ jark $p^n$. 
$p^m a = 0 = p^nb$
$m \leq n$
$p^n ( a + b) = p^n  + p^n b = 0$
Vaja naidate, et $<a + b> !isomorfne \mathbb{Z}_{p^k}$.
Oletus: $a + b$ jark on $l$. $p^k = ql + r$, $q,r \in \mathbb{Z}, 0 \leq r < l$
$0  p^k (a + b) = gl(a+b)+ r(a+b) = r(a + b) \implies r = 0$
\end{proof}

Teoreem Iga perioodiline Abeli r\"uhm on oma $p$-komponentide otsesumma. 

\begin{proof}
Olgu $p_1 = 2$, $p_2 = 3$, $p_3 = 5$,...
$T_i(A) = T_{p_i}(A)$
Kas $A = !sisemineotsesumma \sum \limits_{i \in N} T_i (A)$?
Kas $A \subset !sisemineotsesumma \sum \limits_{i \in N} T_i (A)$? Teistpidi ilmne.
$a \in A, \exists n \in N, na = 0, n = p_1^{k_1},...,p_n^{k_n}$
$n_i = \frac{n}{p_i^{k_i}}$.
S\"UT($n_1,...,n_k) = 1$
$\exists t_1,...,t_k \in \mathbb{Z}, 1 = t_1 n_1 +...+ t_k n_k$.
$a = 1 \cdot a = ( t_1 n_1 +...+ tk n_k)a = t_1 (n_1 a) + ... + t_k (n_k a) $
Kas $n_i a \in T_i (A)$?
$t_i (n_i a) \in T_i$...........
 \end{proof}

\section{Poolr\"uhmad}

\subsection{Teisinustes poolr\"uhmad}
Cayle teoreem - iga r\"uhm on isomorfne mingi teisenduste r\"uhmaga.
$(G; \cdot)$ - r\"uhm.
Vastavalt Cayle teoreerimle $\exists A, G !isomorfne $ r\"uhma $S(A) $ ( kõik bijektiivsed teisenudse) alamr\"uhmaga. 
\begin{proof}
$A = G$ sobib, $g \in , lg : G \to G, l_g (x) = gx$, $lg \in S(G)$. 
$\phi: G \to S(G)$
$\phi(g) = l_g$.
Kas $phi$ on injetiivne? 
$g,h \in G, l_g = l_h$
$g = g \cdot 1 = l_g(1) = l_h (1) = h \cdot 1 = h$
$l_{gh} = l_g l_h$
$x \in G$
$l_{gh}(x) = (gh)x = g(bx( = l_g(l_h(x)) = (l_g l_h)(x)$
$T(A) =$ kõigi teisenduste hulk hulgal $A$.
\end{proof}
....
\subsection{Vabad poolr\"uhmad}
$F$ vaba poolr\"uhm baasgia $B$.
$B = \left\lbrace b_1,...,b_n \right\rbrace$
$F$ elemenidid - sõned tähestikus $B$.
$B$ tähestiks
$F_B$ - kõigi lõpliku sõnade hulk tähestikus B
Miks poolr\"uhm on vaba ?
\begin{proof}
$S$ suvaline poolr\"uhm.
$s_1,...,s_n \in S$
Kas leidub homomorfism $\phi: F_B \to S$, nii et $f(b_i) = s_i$ ?
$\phi(b_{i_1},...,b_{i_m}) = s_{i_1}...s_{i_m}$
....

\end{proof}


def 6.1.1
$F_X !yhend \left\lbrace \emptyset \right\rbrace$
$S = <a>$ poolr\"uhm.
$S = \left\lbrace a^k | x \in \mathbb{N} \right\rbrace $
$(N, +)$, $\phi : \mathbb{N} \to S$, $\phi(k) = a^k,\phi(k+l) = a^k \cdot a^l$

$K \neq l \implies a^k \neq a^l$, lõpmatu ... poolr\"uhm , $!isom (\mathbb{N},+)$.
$\exists k,l, k \neq l, a^k = a^l$, valime miminaalse võimaliku $k$, valime minimaalse võimaliku $l$, $a,a^2,...,a^k, a^{k+1},...,a^{l-1}$. $S = \left\lbrace a,a^2,...,a^{l-1} \right\rbrace$. Kui kuskil $k \neq l$, $a^k = a^l$, siis see on lõplik.

$G = \left\lbrace a^k,...,a^l-1 \right\rbrace$
$|G| = (l-1) - (k-1) = l-k  = n$
$\phi : G \to (\mathbb{Z_n},+)$
$\phi(a^i) = !j22giklass i$

Olertame, et $i,j \geq k, a^i = a^j \iff n | i-j$
$G !isomorfne (\mathbb{Z},+)$

def 6.2.2

Lause 6.2.1

\subsection{Regulaarsed ja inverssed poolr\"uhmad}

def 6.3.1

Lause 6.3.1

\begin{proof}
$A$ hulk
$T(A)$ kõigi teisenudse poolr\"uhm hulgal A
$\phi \in T(A)$
$\psi \in T(A), \phi = \phi \psi \phi$
$\forall a \in A, \phi(a) = \phi(\psi(\phi(a))))$
$psi$ - paneb vastavusse \"uhe originaalidest, suvaline A element, kui argument ei oma originaali.
\end{proof}

Lause 6.3.2

\begin{proof}
$(Mat_{n} (K); \cdot), K$ korpus.
Vaatleme maatrikseid kui lineaarteisendusi. 
$Mat_{n} (K) !isom End(V)$
$V -$ n-mõõtmeline vektorruum \"ule $K$.
$\phi \in $End$(V)$
$\psi \in End(V)$
$\phi = \phi \psi \phi$
$\forall x \in V, \phi(x) = \phi( \psi ( \phi (x)))$
$Im(\phi) = W \leq V, Im(\phi) = \left\lbrace \phi(x) | x \in V \right\rbrace $
$\left\lbrace e1,...,e_n \right\rbrace - W baas$
Valime iga $i$ jaoks $a_i \in V$, nii et $\phi(a_i) = e_i$
$\psi(e_i) a_i, kui i \in \left\lbrace 1,..,m \right\rbrace, else 0$
$a \in V$
$\phi(a) \in Im (V)$
...
\end{proof}

def 6.3.2

lause 6.3.3

\begin{proof}
$S$ -  reg. poolr\"uhm
$a \in S$
$\exists b, aba = e$
Kas $bab = b$?
$c = bab$
$aca = ab(aba) = aba = a$
$cac = bab(aba)b = b(eba)b = bab = c$
\end{proof}

def 6.3.3

näited:

r\"uhm on inversne. 

R\"uhm $G$
$a,b \in G$
$aba = a \implies ab = 1 \implies b = a ^{-1}$
$bab = b$

Olgu $S$ poolvõre.

$a \in S$, $aaa = a$.
Oletame, et $aba = a, bab = b$, $aba = a \implies a \leq b, bab =b \implies b leq a, \implies a = b$

Teoreem 6.3.1

\begin{proof}
Tarvilikkus: $S$ on inversne poolr\"uhm, $e,f \in S$, $e^2 = e, f^2 = f, x -ef$ ivresne element.
$efxef = ef, xefx = x$,
$fxe \cdot fxe = f(xefx)e = f(x)e$
Seega $fxe$ on idempotent, $fxe$ on $fxe$ inversne element.
$ef \cdot fxe \cdot ef = efxef = ef$
$fxe \cdot ef \cdot fxe = fxefke = fxe$, seega $ef$ on $fxe$ inverrse elment, seega $fxe = ef$. 
$ef = fxe = fef$, $ef = fxe = efe$, $fef=ef=efe$
Vahetades $e$ ja $f$ rollid, saame, te $ef = fe$.
\end{proof}

Teoreem 6.3.2

\begin{proof}



$A$ hulk, $PT(A)$ - kõik osalised bijektsioonid
Korrutis $g(f(x)),  x \in A, f(x) \in Y, Y = \left\lbrace y \in A| g(y) \in A \right\rbrace$

Kas on regulaarne ? ($x \in S \implies \exists t \in S, s = sts$ Sobib pöördkujutis. $PT(A)$ idempotentidid ? Alamhulkade samasusteisendused. Oletame, et $\phi \in PT(A), \phi^2 = \phi$, $Dom(\phi^2) = Dom(\phi), In(\phi^2) = In(\phi)$. Seega, iga $b \in B \phi^2(b) = \phi(b)$, seega $\phi(\phi(b)) = \phi(b)$, \"uks\"uhesuse põhjal $\phi(b) = b$. Miks nad kommuniteeruvad? Valime kaks alamhulka $B,C$, saame kaks idemponeti, mille korrutis on $id_B \cdot id_C = id_{B !yhisosa C}$. Oletame, et meil on $\phi,\psi \in PT(A)$, $Dom(\psi \phi) = \phi^{-1}(I_m \phi !yhisosa Dom (\psi)$. Korrutise määramispiirkond $Dom(id_C \cdot id_B) = id_b ^{-1} ( C) = \left\lbrace x \in B | id_B(x) \in C \right\rbrace = B !yhisosa C$.

Teine pool:
Olgu $S$  inversne poolr\"uhm, valime $A = S$. $s \in S$, $s \to l_s$, kus $l_s$ on defineeritud teatul alamhulgal, nii et ta oleks bijektiivne. $Dom(l_s) = s'S$, $s'$ elemendi s inversne element. $im(l_s) = sS$, $l_s : s'S \to sS$, vasaknihe, st $l_s(x) = sx, x \in s'S$, $x,y \in s'S$, kas $sx = sy \implies y = x$, $x = s'u$, $y = s'v$, $u,v \in S$, $ss'u = ss'v$, korrutame vasakult $s'$, $s'ss'u = s'ss'v$, siit aga $s'u = s'v$, arvestades $x,y$ def, olemig saanud implikatsiooni kehtivuse. Kas kujutus on s\"urjektiivne ? Võtame mistahes elemendi, $sx \in sS$, $sx = ss'sx = l_s(s'sx) \in s'S$.
$\Phi: S \to PT(A)$, $\Phi(s) = l_s$, miks see kujutus on \"uks\"uhene? $\Phi$ \"uks\"uhesus: Olgu $s,t \in S, l_s = l_t$, siis $Dom(l_s) = Dom(l_t)$, arvestame, et $s'S = l_s $ ja $t'S = l_t$. $s = ss's = l_s(s's) = lt(s's) = ts's$, analoogiliselt $t = st't$, paneme kokku : $s = ts's = tt'ts's = t(t't)(s's)$, idempotent, kommunteerub, $ (ts's')t't = st't = t$. Kas $l_st = l_s \cdot l_t$?  Veendume, et $(st)'S =Dom(l_st) = Dom(l_s \cdot l_t ) = l_t^{-1}(s'S)$. ABitulemus : $(st)' = t's'$, \"uhesuse põhjal piisab näidata, et sobib see element : $(t's')(st)(t's') = t'(s's)(tt')s' = (t'tt')(s'ss') = t's'$, $(st)(t's')(st) = st$.
Kas $t's'S \subset l_t{-1}(s'S)$? Kas suvaline x kuulub sinna ? $x \in S, l_t(t's'x) = tt's'x = (tt')(s's)s'x = s'(stt's'x) \in s'S$. Kas $l_t^{-1}(s'S) \subset (st)'S$? $l_t^{-1}(s'S) = \left\lbrace x \in t'S | tx \in s'S \right\rbrace$ $x \in t'S$. Kas $ tx \in s'S \implies x \in t's'S$? $x = t'y, y \in S$, $x = t'y = t'tt'y = t'tx = t's'z, z \in S, \in t's'S$. 

\end{proof}

\section{Universaalalgebra}
\subsection{Alamotsekorrutis}
Def 7.1.1

$A \leq \prod \limits_{i \in I} A_i$
$\forall j \in I \forall x \in Aj$
$\exists (a_i)_{i \in I} \in A, a_j = x$
$A !otsekorrutis A$, alamotsekorrutis $\Delta_A = \left\lbrace (a,a) | a \in A \right\rbrace$

Teoreem 7.1.1

\begin{proof}
$\pi_j : \prod_{i \in I} A_i \to Aj$
$\alpha_j = \pi_j | A$, $\alpha_j: A \to A_j$, sürjektsioon.
$\rho_j = \text{Ker}(\alpha_j)$. 
Homomorfismiteoreem põhjal $A \ \rho_j !isom A_j$
$a = (a_i)_{i \in I}, b = (b_i)_{i \in I}, \in A$, $\forall j (a,b) \in \rho_j$.....
Piisavus: Olgu $\phi: A \to \prod \limits_{i \in I} A / S_i$, $\phi(a) = (a / \rho_i)_{i \in I}$. I $\omega$- algebrade homomorfism(tõestus rutiine). $A' = \phi(A) \leq \prod_{i \in I} A / \rho_i $. $\phi(A)$ on $A/ \rho_i, i \in I$, alamotsekorrutis. Paneme tähele, et $A !isom \phi(A)$, kui $\phi$ \"uks\"uhene, siis sellest järeldub $A !isom \phi(A)$, $a,b \in A$, $\phi(a) = \phi(b)$, $\forall i \in a/ \rho_i =b / \rho_i$.....

def 7.1.2

lause 7.1.1(1)

näited:
\begin{enumerate}
\item lihtsad on taandumatud.
\item $\mathbb{Z}_{p^n}, Z_{p^\infty}$, näiteks $\mathbb{Z}_8  \subset 2 \mathbb{Z}_{8} \subset 4 \mathbb{Z}_8 \subset ...$
\end{enumerate}

lemma 7.1.1

\begin{proof}
$A$ algebra
$a,b \in A, a \neq b$,
$S = \left\lbrace S \in Con(A) | (a,b) \not \in S \right\rbrace
S \neq \emptyset, \Delta_A \in S$, $(S, \leq) $ järjestatud hulk. Näitame, et rahuldab Zorni lemma tingimusi. $C (\text(ahend) \subset S$ , $\rho,\sigma \in C \implies \rho \leq \sigma $ või $ \sigma \leq \rho)$. $\tau = !yhendC = !yhend \left\lbrace \rho | \rho \in C \right\rbrace$, $(a,b),(b,c) \in \tau$. Kui meil on $n \in N4, \omega \in \Omega_n$, $a_1,...,a_n,b_1,...,b_n \in A$, $(a_i, b_i ) \in \tau, i = 1,2,...,n \implies ....$. Rahuldab Zorni lemma eeldust, leidub maksimaalne element, olgu $\rho$ järjestatuh hulga $(S,\leq)$ maksimaalne element. Miks $\tau \in S$? $(a,b) \in \tau \implies \exists \rho \in C, (a,b) \in \rho$, vastuolu. 
Maksimaalne element leidub, $A/ \rho $ on taandumatu. 

\end{proof}

\end{proof}


\end{document}