- Fourier Series: Linear Algebra for Functions
- 傅里叶级数简称为FS
- 综合V24后半部分,还没有整合
我们在看看投影问题,从而引出傅里叶级数.我们先讨论带有标准正交基的投影问题.基向量是
怎么求出 Qx = v,这个矩阵方程的解是什么?
现在开始傅里叶级数,已知函数f(x),我们想把这个函数写成组合的形式.那么应该有一个常数项,包含项cosx,sinx,还有cos2x,sin2x等等
$$
f ( x ) = a _ { 0 } + a _ { 1 } \cos x + b _ { 1 } \sin x + a _ { 2 } \cos 2 x + b _ { 2 } \sin 2 x + \cdots \tag{B2}
$$
这和Eq(B1)有什么不同?这个是无穷维的,但关键性质还是正交!sin和cos是正交的！这使得傅里叶级数有意义,Eq(B2)的f(x)就是傅里叶级数,可以作用在函数空间上(function space),对比 Eq(B1):
- 向量v变成函数f(x)
- 正交向量
$q_1...q_n$ 变成正交函数,也就是无穷多个的常数1(系数$a_0$ 对应的函数)、$\sin x、\cos x$ ....要无穷多个,因为空间是无穷的,而不是有限维向量空间,是无穷维向量空间！
向量现在是函数!当然有很多函数能够从无穷维中取出来 ,基向量是函数,也就是$1,cosx,sinx,cos2x,sin2x....$ 而傅里叶函数成立的原因就是因为这些函数是正交的！这里的正交是什么意思?向量正交是点积是0,那么函数的点积是什么? 向量正交,也就是点乘为0：
$$
v ^ { T } w = v _ { 1 } w _ { 1 } + v _ { 2 } w _ { 2 } + \cdots v _ { n } w _ { n } = 0
$$
对于函数来讲,给定两个函数 f,g.向量有n个元素,但是函数是连续的,画函数图,不是画n个点,而是真个连续的曲线,那么 Eq(B2)的傅里叶级数,函数f(x)的右边部分要等于f(x),而右端的函数都是周期函数,周期是 Eq(B2)的左边变成
也就是说 $$ a _ { 1 } = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } f ( x ) \cos x d x $$ 这就是著名的傅里叶级数系数公式,可见的确可以扩展到一组标准正交基上
本节将会解释，线代在无限维下，也是可以起作用的。但首先要将一些概念在无限维下做适当的改变。
首先，一个向量有无线的分量是什么意思呢？有2个不同的答案
- 向量变成
$v= (v_1,v_2....)$ ，无限个分量 - 向量是1个函数，如sinx
2个答案都是可以的，而且我们会同时介绍这2个，而傅里叶级数把它们联系起来
其次是点乘的定义。无线分量的向量的点乘，是1个无穷级数：
$$
\text{Dot Product}\qquad \quad v \cdot w = v _ { 1 } w _ { 1 } + v _ { 2 } w _ { 2 } + \cdots \tag{1}
$$
这就产生了一个不会在
明显，当 v=w=(1,1...)，级数明显不收敛，点乘得到的和是无限的。这里v=w,所以实际上计算的是
Definition:当前仅当向量
$v = (v_1,v_2...)$ 的长度是有限的，它才是在无穷维的希尔伯特空间(Hilbert space),也就是：$| v | ^ { 2 } = v \cdot v = v _ { 1 } ^ { 2 } + v _ { 2 } ^ { 2 } + v _ { 3 } ^ { 2 }+\cdots$ 必须加和为1个有限数字
例1 向量
现在我们看看把向量定义为函数的方式。这些函数都是向量！而定义在
在这种连续的情况下，关键就是：求和变为求积分！ 现在点乘不是
Definition 函数f(x)，g(x)的内积(inner product)是 $$ ( f , g ) = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } f ( x ) g ( x ) d x \tag{3.1} $$ 长度平方(length suqared)是： $$ | f | ^ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( f ( x ) ) ^ { 2 } d x \tag{3.2} $$ 函数的定义域
$[0,2\pi]$ 可以是不同的区间，如$[0,1]$ 或$[-\infty,\infty]$ ,这里选择为$2\pi$ 是因为我们的下个例子将会是$\cos x,\sin x$
例2
重要： sinx，cosx在函数空间下是正交的 $$ \text{Inner product is 0:}\quad
\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \sin x \cos x d x = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { 1 } { 2 } \sin 2 x d x = \left[ - \frac { 1 } { 4 } \cos 2 x \right] _ { 0 } ^ { 2 \pi } = 0 \tag{4} $$ 这个0不是巧合！而且这个正交性不仅仅是2个函数sinx,cosx。无线长度的sin,cos都是正交的，包括cos0x,sinx,cosx,sin2x,cos2x,sin3x,cos3x....此列表的的任何1个函数，都和其他函数正交。
一个函数的福利叶级数是根据sin和cos展开的
$$
y ( x ) = a _ { 0 } + a _ { 1 } \cos x + b _ { 1 } \sin x + a _ { 2 } \cos 2 x + b _ { 2 } \sin 2 x + \cdots \tag{5}
$$
那些sin,cos就是正交基，这些基是位于函数空间下的。这些基是周期的，在
注意:
-
Eq(5)的是无限扩展的，傅里叶级数是无穷级数。 - 前面我们避开了类似
v=(1,1...)这样长度是无限的向量。现在我们还要避开类似$\frac{1}{2} + cos x + cos2x+cos3x$ 这样的函数,因为它是$\pi$ 乘以著名的$\delta(x)$ (delta function).在x=0它的长度是$\frac{1}{2}+1+1+1...$ 是无穷的，在$0<x<2\pi$ 的其他所有点，这个级数的和以某种方式平均的加到0(the series adds in some average way to zero)。$\delta(x)$ 的积分是0，但$\int \delta^2(x) = \infty$ ，所以delta函数是从希尔伯特空间排除的
我们计算一个一个典型的f(x)的和
$$
\begin{aligned} ( f , f ) & = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left( a _ { 0 } + a _ { 1 } \cos x + b _ { 1 } \sin x + a _ { 2 } \cos 2 x + \cdots \right) ^ { 2 } d x \ & = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left( a _ { 0 } ^ { 2 } + a _ { 1 } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } x + b _ { 1 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } x + a _ { 2 } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } 2 x + \cdots \right) d x \ | f | ^ { 2 } & = 2 \pi a _ { 0 } ^ { 2 } + \pi \left( a _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots \right) \end{aligned}
\tag{6}
$$
第1行到第2行是因为正交性，所有类似 cosxcos2x 乘法的积分都是0，所以第2行只留下了sin、cos平方自身的积分！行3计算了这个积分的值。如果将每个函数都除以自身的长度，那么我们就得到了标准正交基：
$$
\frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } , \frac { \cos x } { \sqrt { \pi } } , \frac { \sin x } { \sqrt { \pi } } , \frac { \cos 2 x } { \sqrt { \pi } } ,\cdots \quad \color{orange} \text{是函数空间的标准正交基}
$$
上面都是单位向量，我们可以用系数
仅当希尔伯特空间包含了作为傅里叶系数的向量
例3
sp:从这里以后就有点看不懂啊，后面补充
The Fourier Coefficients