上一讲中，我们从三个简单的性质扩展出了一些很好的推论，本讲将继续使用这三条基本性质：
-
$\det I=1$；
- 交换行行列式变号；
- 对行列式的每一行都可以单独使用线性运算，其值不变；
我们使用这三条性质推导二阶方阵行列式：
$$\begin{vmatrix}a&b\c&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&0\c&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&b\c&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&0\c&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a&0\0&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&b\c&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&b\0&d\end{vmatrix}=ad-bc$$
按照这个方法，我们继续计算三阶方阵的行列式，可以想到，我们保持第二、三行不变，将第一行拆分为个行列式之和，再将每一部分的第二行拆分为三部分，这样就得到九个行列式，再接着拆分这九个行列式的第三行，最终得到二十七个行列式。可以想象到，这些矩阵中有很多值为零的行列式，我们只需要找到不为零的行列式，求和即可。
$$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&0&0\0&a_{22}&0\0&0&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&0&0\0&0&a_{23}\0&a_{32}&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&a_{12}&0\a_{21}&0&0\0&0&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&a_{12}&0\0&0&a_{23}\a_{31}&0&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&0&a_{13}\a_{21}&0&0\0&a_{32}&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&0&a_{13}\0&a_{22}&0\a_{31}&0&0\end{vmatrix}$$
$$原式=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}\tag{1}$$
同理，我们想继续推导出阶数更高的式子，按照上面的式子可知$n$阶行列式应该可以分解成$n!$个非零行列式（占据第一行的元素有$n$种选择，占据第二行的元素有$n-1$种选择，以此类推得$n!$）：
$$\det A=\sum_{n!} \pm a_{1\alpha}a_{2\beta}a_{3\gamma}\cdots a_{n\omega}, (\alpha, \beta, \gamma, \omega)=P_n^n\tag{2}$$
这个公式还不完全，接下来需要考虑如何确定符号：
$$\begin{vmatrix}0&0&\overline 1&\underline 1\0&\overline 1&\underline 1&0\\overline 1&\underline 1&0&0\\underline 1&0&0&\overline 1\end{vmatrix}$$
- 观察带有下划线的元素，它们的排列是$(4,3,2,1)$，变为$(1,2,3,4)$需要两步操作，所以应取$+$；
- 观察带有上划线的元素，它们的排列是$(3,2,1,4)$，变为$(1,2,3,4)$需要一步操作，所以应取$-$。
- 观察其他元素，我们无法找出除了上面两种以外的排列方式，于是该行列式值为零，这是一个奇异矩阵。
此处引入代数余子式（cofactor）的概念，它的作用是把$n$阶行列式化简为$n-1$阶行列式。
于是我们把$(1)$式改写为：
$$a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})+a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$
$$\begin{vmatrix}a_{11}&0&0\0&a_{22}&a_{23}\0&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&a_{12}&0\a_{21}&0&a_{23}\a_{31}&0&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&0&a_{13}\a_{21}&a_{22}&0\a_{31}&a_{32}&0\end{vmatrix}$$
于是，我们可以定义$a_{ij}$的代数余子式：将原行列式的第$i$行与第$j$列抹去后得到的$n-1$阶行列式记为$C_{ij}$，$i+j$为偶时时取$+$，$i+j$为奇时取$-$。
现在再来完善式子$(2)$：将行列式$A$沿第一行展开：
$$\det A=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\cdots+a_{1n}C_{1n}$$
到现在为止，我们了解了三种求行列式的方法：
- 消元，$\det A$就是主元的乘积；
- 使用$(2)$式展开，求$n!$项之积；
- 使用代数余子式。
计算例题：
$A_4=\begin{vmatrix}1&1&0&0\1&1&1&0\0&1&1&1\0&0&1&1\end{vmatrix}\stackrel{沿第一行展开}{=}\begin{vmatrix}1&1&0\1&1&1\0&1&1\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}1&1&0\0&1&1\0&1&1\end{vmatrix}=-1-0=-1$