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Fall 2013: Physique générale I
[TOC]
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référentiel : ensemble de plus de 3 points non coplanaires, immobiles les uns par rapport aux autres
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point matériel (PM) : point géometrique auquel on attribue la masse de l'objet
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trajectoire : lieu géometrique du PM au cours de son temps par rapport au référentiel
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equation horaire : soit
$O$ l'origine du référentiel et$P$ la position du PM à un temps donné, notons le vecteur$\vec{OP}=\vec{r}$ , alors$\vec{r}(t)$ est la position du PM en tout temps$t$ -
vitesse vectorielle instantanée :
$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{m}{s}$ -
accérération vectorielle :
$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{m}{s^2}$ -
repère :
$(A,\hat{x_1},\hat{x_2},\hat{x_3})$ est un repère$A$ avec ses trois vecteurs unités (leur norme vaut 1) souvent orthonormé -
grandeur extensive : la valeur de cette grandeur est additive (par opposition à grandeur intensive, ex. température)
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masse d'inertie : dans la mécanique newtonnienne, la masse est une grandeur conservée (sans perte)
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produit scalaire :
$\vec{a}\cdot\vec{b}=ab\cos\theta$ -
produit vectoriel : $\vec{a}\land \vec{b}=\begin{vmatrix}\hat x_1 & a_1 & b_1\\ \hat x_2 & a_2 & b_2\\ \hat x_3 & a_3 & b_3\end{vmatrix}$ (determinant par rapport avec la première colonne !). Si
$(\vec{a}\land\vec{b})\cdot\vec{c}$ ,$\vec{c}$ prend la place de$\vec{\hat x}$ . La norme vaut$|\vec{a}\land\vec{b}|=ab|\sin\theta|$ et le produit est perpendiculaire au plan décrit par$\vec{a}$ et$\vec{b}$ (règle des 3 doigts) -
projection d'un vecteur sur un axe :
$\vec{AP}\cdot\hat u=AP\cos\theta$
Tout corps persévère dans l'état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite à moins que quelque force n'agisse sur lui et ne le contraigne à changer d'état.
- référentiel d'intertie : référentiel où le principe d'intertie est vérifié
Les changements de mouvement sont proportionnels à la force motrice (force appliqué sur un temps), et se font dans la ligne droite dans laquelle cette force est imprimée à l'objet.
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quantité de mouvement :
$\vec{p}=m\vec{v}$ -
changement de mouvement :
$\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}$ , dans le cas où la masse$m$ est constante$\vec{F}=m\vec{a}$
A toute action, il y a toujours une réation égale qui lui est opposée.
- conservation de quantité de mouvement : dans un système isolé la résultante des forces est nulle
- marche à suivre :
- choix du référentiel
- choix du repère
- choix du système de coordonées (condition initiales)
- modèle de force (bilan)
- loi de la dynamique (équation accélération)
- équations du mouvement
- intégration des équations du mouvement
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abscisse curviligne :
$s=R\phi$ -
vitesse scalaire :
$v=\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{d\vec{r}}{ds}\frac{ds}{dt}=v\frac{d\vec{r}}{ds}$ car$v=\frac{ds}{dt}$ et$\frac{d\vec{r}}{ds}=1$ ($arc\approx secante$ ) -
accélération tangentielle : accélération classique
$a=\frac{dv}{dt}\hat \tau$ -
accélération normale : perpendiculaire à la tangente
$a=v\frac{d\hat\tau}{dt}=v\frac{d\hat\tau}{ds}\frac{ds}{dt}=v^2\frac{d\hat\tau}{ds}=\frac{v^2}{R}$ car$\frac{d\hat\tau}{ds}=\frac{1}{R}$ -
accélération vectorielle (complète) : avec
$\hat n$ étant le vecteur unité perpendiculaire,$\vec{a}=\frac{dv}{dt}\hat \tau+\frac{v^2}{R}\hat n$ -
vitesse et vitesse angulaire :
$v=R\omega=\frac{ds}{dt}=R\dot \phi$ -
angle :
$\phi=\omega t$ -
accélération centripète :
$a=R\omega^2$
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cylindriques :
$x_1=\rho\cos\phi \quad x_2=\rho\sin\phi \quad x_3=z$ en fonction de$\rho,\phi,z$ -
sphérique :
$x_1=r\sin\theta\cos\phi \quad x_2=r\sin\theta\sin\phi \quad x_3=r\cos\theta$ en fonction de$r,\theta,\phi$ -
vitesse et accélération : voir formulaire
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ligne de coordonnées : lieu géometrique des points qui ont deux coordonnées fixes
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force de liaison et contrainte
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formules de Poisson :
$\frac{d\hat{e_i}}{dt}=\vec{w}\land\hat{e_i}$ ainsi$\vec v=\frac{d\vec r}{dt}=\vec\omega\land\vec r$ et$a=\frac{d\vec v}{dt}=\frac{d}{dt}(\vec\omega\land\vec r)=\vec\omega\land\frac{d\vec r}{dt}=\vec\omega\land(\vec\omega\land\vec r)$ (centripète) -
vitesse angulaire :
$\vec{w}=\frac{2\Pi}{T}=\frac{v}{R}$ (perpendiculaire au plan de rotation)
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forces :
$F=\frac{kg,m}{s^2} newton$ -
puissance instantanée :
$P=\vec{F}\cdot\vec{v}=\frac{kg,m^2}{s^3} watt$ -
travail de la force :
$W=\int P(t)dt= \int \vec{F}(t)\cdot\vec{v},dt=\frac{kg,m^2}{s^2} joule$ -
énergie cinétique :
$T=\frac{1}{2}m\vec{v^2}$ -
énergie potentiel :
$V(\vec{r})=\int_\vec{r}^{\vec{r}_s}\vec{F}\cdot d\vec{r}=V(\vec{r})-V(\vec{r_s})$ -
énérgie mécanique totale :
$E=T+V$ -
conservation de l'énergie : si toutes les forces sont conservatives, l'énergie mécanique est conservée
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collision élastique : si l'énergie cinétique est conservée, inélastique sinon (ou mou)
$T_i+Q=T_f$ où$Q$ est l'énergie libérée par la collision
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moment cinétique :
$L_0=\vec{OP}\land\vec{p}$ -
moment de la force :
$M_0=\vec{OP}\land\vec{F}$ -
théorème du moment cinétique pour un PM :
$\frac{d\vec{L_0}}{dt}=\vec{M_0}$ -
3ème loi de Kepler :
$\frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2m}{K}$ est une constante où$a$ est le demi-grand axe et$K$ une constante
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force de gravitation :
$\vec{F_g}=G\frac{m_1m_2}{d^2}\hat u$ où$G\approx 6.67\times 10^{-11}$ -
force de Coulomb :
$\vec{F_c}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2} \hat u$ où$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}=8.988\times 10^9$ -
champ électrique :
$\vec{F_e}=q\vec{E}$ où$\vec{E}$ est un champ électrique -
force de Lorentz :
$\vec{F_l}=q\vec{v}\land\vec{B}$ où$\vec{B}$ est un champ d'induction -
friction statique : pour un solide indéformable
$F_{max}=\mu_sN$ où$\mu_s$ est le coefficient de frottement statique et$N$ la force de réaction de la surface -
frottement avec glissement :
$\vec{F_f}=-\mu_c|N|\hat v$ où$\mu_c$ est le coefficient de frottement cinétique -
frottements visqueux :
$\vec{F_v}=-k\eta\vec{v}$ où$\eta$ est le coefficient de viscosité et$k$ un facteur géometrique
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loi dynamique :
$\vec{F}=m\vec{a}$ -
modèle de force :
$\vec{F}=m\vec{g}$ où$\vec{g}=9.8$ avec$\vec{g}$ de direction verticale vers le bas -
choix de coordonnées :
$Oxyz$ avec$x(0)=x_0 \quad y(0)=y_0 \quad z(0)=z_0\\ vx(0)=vx_0 \quad vy(0)=vy_0 \quad vz(0)=vz_0 \\ a_x=\ddot{x} \quad a_y=\ddot y \quad a_z=\ddot z$ -
équation du mouvement :
$m\ddot x=0 \quad m\ddot y=0 \quad m\ddot z=-mg$ -
intégration en tenant compte des conditions initiales :
$x(t)=v0_xt+x_0 \quad y(t)=v0_yt+y_0 \quad z(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v0_zt+z_0$
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modèle de force :
$\vec F=m\vec g-b\vec v$ -
équation du mouvement :
$m\ddot x=-b\dot x \quad m\ddot y=-b\dot y \quad m\ddot z=-mg-b\dot z$ -
intégration en
$x$ :$\ddot x=-\frac{b}{m}\dot x \quad \dot x(t)=\dot x(0)e^{-bt/m} \quad x(t)=\dot x(0)(\frac{-m}{b})e^{-bt/m}+\frac{m}{b}\dot x(0)$ avec$\frac{m}{b}=\tau$ , on a alors$x(t)=\dot x(0)\tau(1-e^{-t/\tau})$ -
intégration en
$z$ :$\dot z =-\tau g-\tau g e^{-t/\tau} \quad z=-\tau gt+\tau^2g(1-e^{-t/\tau})$
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modèle de force :
$F=-kx$ (force de rappel) -
équation du mouvement :
$m\ddot x=-kx \quad \dot x =-\omega\cos(\omega t) \quad x=-\omega^2\cos(\omega t)$ avec$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{2\pi}{T}$
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modèle de force :
$\vec F = -kx-b\vec v$ -
équation du mouvement :
$\sqrt{\frac{k}{m}}=\omega_0$ et$\frac{b}{2m}=\gamma$ , ainsi$\ddot x+2\gamma\dot x+\omega_0^2x=0$ dont la fonction d'essai est$x=e^{\lambda t}$ -
si amortissement faible
$\gamma^2<<\omega_0^2$ : la solution est irréele mais peut s'écrire$x(t)=e^{-\gamma t}C\cos(\omega_1t+\phi)$ avec$\omega_1=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}$ -
si amortissement critique
$\gamma^2=\omega_0^2$ :$x(t)=e^{-\omega_0 t}(x_0+t(x_0\omega_0+\dot x_0))$
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référentiel, repère, coordonnées :
$Oxy$ dont$O$ est le point d'attache avec coordonnées cylindriques -
bilan des forces : pesenteur
$F$ et liaison$T$ -
cinématique :
$\ddot\rho=\dot\rho=0 \quad z=0$ et$\vec a=(-l\dot\phi^2)\vec {e\rho} +(l\ddot\phi)\vec{e\phi}$ -
équation du mouvement :
$-ml\dot\phi^2=mg\cos\phi-T$ et$\ddot\phi=-\frac{g}{l}\sin\phi$ -
intégration (qualitative) si
$\phi<<1$ : on peut approximer$\sin\phi\approx\phi$ ainsi$\ddot\phi=-\frac{g}{l}\phi$ qui est l'équation d'un osciallateur harmonique de période$2\pi\sqrt{l/g}$
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équation du mouvement avec un oscillateur :
$m\ddot x=-kx-b\dot x+F(t)$ -
équation du mouvement :
$\ddot x +\frac{1}{\tau}\dot x+\omega_0^2x=\alpha_0\cos(\omega t)$ avec$\alpha_0=\frac{f}{m}$