04.02.md

行列递增矩阵的查找

题目描述

在一个m行n列二维数组中，每一行都按照从左到右递增的顺序排序，每一列都按照从上到下递增的顺序排序。请完成一个函数，输入这样的一个二维数组和一个整数，判断数组中是否含有该整数。

例如下面的二维数组就是每行、每列都递增排序。如果在这个数组中查找数字6，则返回true；如果查找数字5，由于数组不含有该数字，则返回false。

分析与解法

解法一、分治法

这种行和列分别递增的矩阵，有一个专有名词叫做杨氏矩阵，由剑桥大学数学家杨表在1900年推提出，在这个矩阵中的查找，俗称杨氏矩阵查找。

以查找数字6为例，因为矩阵的行和列都是递增的，所以整个矩阵的对角线上的数字也是递增的，故我们可以在对角线上进行二分查找，如果要找的数是6介于对角线上相邻的两个数4、10，可以排除掉左上和右下的两个矩形，而在左下和右上的两个矩形继续递归查找，如下图所示：

解法二、定位法

首先直接定位到最右上角的元素，再配以二分查找，比要找的数（6）大就往左走，比要找数（6）的小就往下走，直到找到要找的数字（6）为止，这个方法的时间复杂度O（m+n）。如下图所示：

关键代码如下所示：

#define ROW 4
#define COL 4

bool YoungMatrix(int array[][COL], int searchkey){
	int i = 0, j = COL - 1;
	int var = array[i][j];
	while (true){
		if (var == searchkey)
			return true;
		else if (var < searchkey && i < ROW - 1)
			var = array[++i][j];
		else if (var > searchkey && j > 0)
			var = array[i][--j];
		else
			return false;
	}
}

类似问题

给定 n×n 的实数矩阵，每行和每列都是递增的，求这 n^2 个数的中位数。