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| Original file line number | Diff line number | Diff line change |
|---|---|---|
| @@ -0,0 +1,307 @@ | ||
| --- | ||
| title: 二分图 | ||
| titleTemplate: 图论 | ||
| --- | ||
|
|
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| ## 二分图 | ||
|
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| ### 二分图 | ||
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| 一张无向图的节点可以分成两个集合，同一个集合的节点直接相互没有边，只有不同集合的节点之间才有边，则这张图被称为二分图 | ||
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|  | ||
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||
| 在一些特别的模型中，图是否是二分图决定了这张图是否有一些良好的性质 | ||
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| 一个小定理：一个图是二分图当且仅当不存在长度为奇数的环 | ||
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||
| 如果一张图存在奇环，那这个环上的点一定不能分成两个集合，每个集合之间都没有边 | ||
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| 如果一张图不存在奇环，任选一个点染黑，黑点相邻的点都染白，白点周围的点都染黑，最后黑点和白点就可以构成二分图的两个点集。 | ||
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|
||
| 用这种染色的方法，可以判断一张图是否是二分图。 | ||
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| [P1330 封锁阳光大学 ](https://www.luogu.com.cn/problem/P1330) | ||
|
|
||
| 给定一张 $n$ 个点 $m$ 条边的图，选一些点，要求所有边的恰好一个端点被选中，最少需要选几个点。 | ||
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||
| 对每个连通块分别考虑： | ||
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||
| 总结一下，选出来的点相互之间不能有连边，不妨将选出来的点作为一个集合，其他点作为另一个集合，可以发现这是一个二分图。 | ||
|
|
||
| 先用染色法判断这个连通块是不是二分图 | ||
|
|
||
| ```cpp | ||
| bool dfs(int now,int c)//当前点是now 颜色是c | ||
| { | ||
| col[now]=c; | ||
| for(int t:eg[now]) | ||
| { | ||
| if(col[t]) | ||
| { | ||
| if(col[t]==col[now]) return 0;//相邻的两个点同色 | ||
| continue; | ||
| } | ||
| dfs(t,c^1)//相邻点换一个颜色 | ||
| } | ||
| } | ||
| ``` | ||
| 如果它是二分图，那么在黑色点和白色点中选择数量较少的那个颜色。 | ||
| [P1525 [NOIP2010 提高组] 关押罪犯 ](https://www.luogu.com.cn/problem/P1525) | ||
| ### 二分图最大匹配 | ||
| #### 匹配 | ||
| 从图 $G=(V,E)$ 中选出一些边集合 $E'$ ，这些边没有自环，且之间互相没有公共端点，则称这个集合是一个匹配。 | ||
| 选出的边数最多的一个集合叫做最大匹配 | ||
| 二分图最大匹配：从二分图中选出一个匹配，边的数量最多。 | ||
| #### 交错路 | ||
| 由于匹配要满足任意选中的两条边之间都没有公共端点，所以不可能有相邻两条边一同被选中为匹配边，但是为了匹配的数量尽可能大，选择匹配边时，在一条路径上（或者一个偶环）中，一个隔一条边有一条匹配边。 | ||
| 即在二分图中任意选择一条路径，一定是匹配边与非匹配边交错形成的。 | ||
| 这样形成的路径被称为**交错路**。 | ||
|  | ||
| 交错路要么奇数编号的路径全都是匹配边，要么偶数编号的路径全是匹配边。 | ||
| #### 增广路 | ||
| 如果一条交错路有奇数条边，但是所有偶数编号的边是匹配边，这就会导致匹配边比非匹配边少一条。 | ||
| 如果把所有匹配边和非匹配边翻转（奇数编号变成匹配边，偶数编号变成非匹配边），这样就会多一条匹配边。 | ||
| 这样的路径，称为**增广路**，你也可以认为他叫可以增广的交错路。 | ||
| 现在最经典的求二分图最大匹配的算法，就是增广路算法。 | ||
| 因为一个端点只能在一个匹配里，所以也肯定只能让匹配增加一。 | ||
| 从左侧每一个端点出发，寻找是否存在增广路，若找到，则令匹配 $+1$，然后将增广路上的匹配边和非匹配边翻转 | ||
| #### 两个定理 | ||
| 如果你想要更严谨的证明，看下面，否则可以跳过这两个定理 | ||
| [参考文献](https://www.jianshu.com/p/53b716ac37ca) | ||
| 定理一： | ||
| 若二分图未达到最大匹配，则一定存在增广路 | ||
| 证明： | ||
| 设当前匹配集合为 $M=(E_1)$，有另一个匹配集合 $N=(E_2)$ 中的匹配数量大于 $M$，令集合 $H(E)=\{M∪N-M∩N\}$。 | ||
| （$M,N,H$ 都是边的集合） | ||
| 则 $H$ 中的边和原图的点形成了若干个连通块。 | ||
| 那么点的度数只能是一或者二。 | ||
| 连通块要么是一个长度为偶数的环，要么是一条链，且 $N$ 中的边和 $M$ 中的边交错连接。 | ||
| 因为 $N$ 数量大于 $M$ ，所以一定存在增广路。 | ||
| 定理二： | ||
| 从某一个点 $v$ 出发找不到增广路时，经过几轮增广之后，从 $v$ 出发仍然找不到增广路。 | ||
| 证明： | ||
| 设 $1$ 为匹配边，$0$ 为非匹配边，若从 $v$ 出发，第一条边为非匹配边的路径都形如 $010101…01$ 。 | ||
| 增广路要求结尾为 $0$ 的路径，在进行增广时只会让结尾为 $0$ 的路径变成结尾为 $1$ 的路径，所以之后也不会出现增广路。 | ||
| #### 增广路算法 | ||
| 设左侧节点集合为 $U$ ，右侧节点集合为 $V$。 | ||
| 以每个未匹配的左侧节点为起点寻找增广路（保证了第一条是非匹配边），同时记录每个右侧节点有没有被匹配上。 | ||
| 如果没有被匹配上，则找到了 | ||
| 否则进行与右侧节点相匹配的左侧节点继续寻找 | ||
| ```cpp | ||
| int tim=0; | ||
| int vis[N]; | ||
| bool find(int now) | ||
| { | ||
| if(vis[now]==tim) return 0;//在这一轮寻找中来过这个点，且没找到，就不用再来了 | ||
| vis[now]=tim; | ||
| for(int t:eg[now]) | ||
| { | ||
| if(!f[t]||find(f[t]))//没有匹配边或者 | ||
| { | ||
| f[t]=now; | ||
| return 1; | ||
| } | ||
| } | ||
| return 0; | ||
| } | ||
| for(int i=1;i<=n;++i) | ||
| { | ||
| ++tim; | ||
| if(find(i)) ++ans; | ||
| } | ||
| ``` | ||
|
|
||
| [P3386 【模板】二分图最大匹配 ](https://www.luogu.com.cn/problem/P3386) | ||
|
|
||
| [P1129 [ZJOI2007] 矩阵游戏 ](https://www.luogu.com.cn/problem/P1129) | ||
|
|
||
| #### 增广路算法在一般图上的应用 | ||
|
|
||
| [2021四川省程序设计竞赛F题](https://codeforces.com/gym/103117/problem/F) | ||
|
|
||
| 给定一张图，有 $n$ 个节点，$m$ 条边，每个节点有一个参数 $a_i$。 | ||
|
|
||
| 给每条边规定一个方向，使得定向之后，节点 $i$ 的入度为 $d_i$。 | ||
|
|
||
| 最小化 | ||
| $$ | ||
| \sum_{i=1}^nmax\{0,d_i-a_i\} | ||
| $$ | ||
| 设每条边连接节点 $(u_i,v_i)$。 | ||
|
|
||
| 先默认边从 $u_i$ 指向 $v_i$。 | ||
|
|
||
| 若 $d_{v_i}>a_{v_i}$ ，则寻找一条路径，以 $x$ 为起点，以 $v_i$ 为终点，且 $d_x<a_x$。 | ||
|
|
||
| 将这条路径上的所有边调转反向，就可以令 $d_x←d_x+1,d_{v_i}←d_{v_i}-1$，且路径中间节点的入度不变。 | ||
|
|
||
| 它虽然不叫增广路，但是和二分图增广路算法的实现有异曲同工之妙 | ||
|
|
||
| ```cpp | ||
| bool dfs(int now) | ||
| { | ||
| if(vis[now]) return 0; | ||
| if(d[now]<a[now]) return 1; | ||
| vis[now]=1; | ||
| for(int t:eg[now]) //遍历now为起点，t为终点的边 | ||
| { | ||
| if(dfs(t))//如果找到了一条路径 | ||
| { | ||
| --d[now]; | ||
| ++d[t]; | ||
| return 1; | ||
| } | ||
| } | ||
| return 0; | ||
| } | ||
| for(int i=1;i<=m;++i) | ||
| { | ||
| int u,v;cin>>u>>v; | ||
| eg[v].push_back(u);//实际上应该插入u到v的边，但是为了操作将v到u的反向边插入 | ||
| ++d[v]; | ||
| memset(vis,0,sizeof(vis)); | ||
| if(d[v]>a[v]) | ||
| { | ||
| dfs(v); | ||
| } | ||
| } | ||
|
|
||
| ``` | ||
| ### 棋盘问题 | ||
| 问这张棋盘能否用 $1*2$ 的多米诺骨牌完全覆盖 | ||
| 将棋盘视为黑白相间的格子 | ||
|  | ||
| 那么一张 $1*2$ 多米诺骨牌不管横着放还是竖着放，都要覆盖一个黑色格子一个白色格子 | ||
| 其实这张棋盘就可以看作二分图染色后的结果，所以它一定是二分图，黑格子和白格子是两个点集，相邻的两个格子之间有一条边。 | ||
| 那么完全覆盖需要两个条件： | ||
| 1、黑格子和白色格子数量相等 | ||
| 2、二分图最大匹配数量等于黑格子数 | ||
| ### 二分图最小点覆盖 | ||
| #### 覆盖 | ||
| 选择一些节点，使得在图上每条边都至少有一个端点被选中，则这个点集被称为覆盖 | ||
| 最小点覆盖：点数最少的覆盖 | ||
| #### König 定理 | ||
| 二分图中，最小点覆盖数量=最大匹配 | ||
| 构造证明： | ||
| 先跑一个二分图最大匹配 | ||
| 匹配边的两个端点被称为匹配点。 | ||
| 首先最小点覆盖数量至少 >= 最大匹配，因为每条匹配边都需要选至少一个端点去覆盖。 | ||
| 从左侧的每一个非匹配点出发走交错路，将访问过的所有点打标记，将这个集合称为 $Z$ | ||
| $Z$ 中的右侧点不存在非匹配点，否则就会形成增广路。 | ||
| 所以在这些连通块中，任意一条边都连接着右侧的标记点，所以右侧所有的标记点可以覆盖所有的边。 | ||
| 左侧不属于 $Z$ 的点都是匹配点，在它们的连通块中和右侧的标记点是同等地位。 | ||
| 即左侧所有未标记点和右侧所有标记点组成二分图的一个匹配。 | ||
| 这些点都恰好是一条匹配边的端点，所以数量上恰好等于最大匹配。 | ||
| [P7368 [USACO05NOV] Asteroids G ](https://www.luogu.com.cn/problem/P7368) | ||
| ### 二分图最大独立集 | ||
| #### 独立集 | ||
| 在图中选最多的点出来，使得点两两之间没有连边 | ||
| 二分图最大独立集=n-最小点覆盖 | ||
| 在最小点覆盖中，任意一条边都至少有一个点被选中，在它的补集中，没有两个点共享一条边，且数量最多 | ||
| [P6268 [SHOI2002] 舞会 ](https://www.luogu.com.cn/problem/P6268) | ||
| ### 霍尔定理 | ||
| 一个二分图，左侧有 $n$ 个点，右侧有 $m$ 个点，满足 $n\leq m$ 。 | ||
| 二分图最大匹配数为 $n$ 当且仅当左侧任意选出 $k$ 个点，与之直接相连的右侧节点数量都大于等于 $k$。 | ||
| 必要性：显然，如果右侧小于 $k$，那这 $k$ 个点肯定不能完全匹配 | ||
| 充分性：当 $n=1$ 时显然成立 | ||
| 当 $n>1$ 时，随便选一个匹配去掉，剩下的图仍然符合霍尔定理。 | ||
| [#6062. 「2017 山东一轮集训 Day2」Pair](https://loj.ac/p/6062) | ||
| [F - Exhausted?](https://atcoder.jp/contests/arc076/tasks/arc076_d) | ||
| ### 练习题 | ||
| [P1640 [SCOI2010] 连续攻击游戏 ](https://www.luogu.com.cn/problem/P1640) | ||
| [Machine Schedule](http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1150) | ||
| [Maximize Mex ](https://www.luogu.com.cn/problem/CF1139E) | ||
| [P1155 [NOIP2008 提高组] 双栈排序 ](https://www.luogu.com.cn/problem/P1155) | ||
| [P8346 「Wdoi-6」最澄澈的空与海 ](https://www.luogu.com.cn/problem/P8346) |
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