Le coniche sono quattro curve determinate dall'intersezione di un piano con una superficie conica. In questo modulo verranno presentate parabola, ellisse, circonferenza ed iperbole sia da un punto di vista teorico che tramite esercizi e grafici.
Forma canonica dell'equazione di secondo grado:
Perchè ci serve? Il discriminante di un'equazione di secondo grado (che si indica con la lettera greca maiuscola delta), ci permette di distinguere se l'equazione di secondo grado data ha o meno soluzioni e, in caso affermativo, di riconoscere se esse sono distinte o coincidenti. La formula del discriminante è:
Una volta calcolato il valore del discriminante, dobbiamo distinguere tre casi:
. In questo caso la radice quadrata esiste, dunque l'equazione di secondo grado ha due soluzioni distinte:
. In questo caso, la radice quadrata del discriminante è uguale a zero, e l'equazione di secondo grado avrà due soluzioni coincidenti:
;
. In questo caso l'equazione è impossibile, perché qualsiasi numero reale elevato al quadrato risulterà maggiore o uguale a zero e non potrà essere minore del secondo membro, che è negativo.
Quando più avanti parleremo di intersezioni o di sistemi di secondo grado impossibili o con soluzioni coincidenti, sarà attraverso il calcolo del delta che potremmo verificare se e come una retta, ad esempio, interseca una parabola.
La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta data, detta direttrice.
L'equazione di una parabola con l'asse parallelo all'asse delle Y è:
L'equazione di una parabola con l'asse parallelo all'asse delle X è:
Per disegnare una parabola, è importante considerare altri tre elementi: il vertice, il fuoco e la direttrice.
Per una parabola con asse parallelo ad Y, le coordinate del vertice sono date da:
Le coordinate del fuoco sono date da:
Infine, l'equazione della direttrice è:
Nel caso di parabola con asse parallelo ad X, le coordinate di fuoco e vertice hanno le componenti invertite.
Vuoi disegnare una parabola con asse paralello all'asse Y o all'asse X? Prova questo script in Python!
Con quest'altro script puoi disegnare l'intersezione di una parabola con un segmento.
Data una parabola ed una retta con equazione y = mx+q, per trovare gli eventuali punti di intersezione si segue il seguente procedimento:
-
Mettere a sistema l'equazione della retta e l'equazione della parabola;
-
Risolvere il sistema di secondo grado così formato e ricavare gli eventuali valori delle incognite x ed y:
A. Se il sistema risulta impossibile, quindi non è possibile ricavare né il valore di x né quello di y, allora la retta e la parabola non hanno punti in comune: si dice che la retta è esterna alla parabola;
B. Se il sistema ha due soluzioni coincidenti, cioè una soluzione doppia, la retta e la parabola sono tangenti;
C. Se il sistema ha due soluzioni distinte, la retta e la parabola sono secanti;
-
Eventualmente, rappresentare graficamente la soluzione.
Una retta si dice tangente ad una curva quando tocca ma non interseca la curva stessa. Dunque, per calcolare l'equazione di una retta passante per un punto e tangente ad una parabola, la procedura è la seguente:
- Dato il punto A, di coordinate
, si calcola l'equazione generale della retta passante per A, ossia
L'ellisse è il luogo geometrico dei punti di un piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi (F1 ed F2 nella figura).
Essendo i due fuochi dei punti fissi, la distanza tra loro, detta distanza focale, è nota.
L'equazione dell'ellisse è:
Le formule per calcolare la posizione dei fuochi di un'ellisse sono:
Per disegnare un'ellisse dati i fuochi e la distanza dei punti della curva da questi, prova questo script.
La circonferenza è il luogo dei punti di un piano che hanno la stessa distanza (il raggio) da un punto fisso (il centro).
Ha infiniti raggi tutti tra loro congruenti e quindi della stessa lunghezza: per questo motivo si parla di raggio della circonferenza.
L'equazione della circonferenza è:
Il centro della circonferenza ha queste coordinate:
Il raggio, invece, si ricava in questo modo:
Per disegnare una circonferenza dato il centro ed il raggio, prova questo script.
L'iperbole è il luogo dei punti del piano per i quali la differenza, in valore assoluto, delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante.
L'equazione dell'iperbole i cui assi di simmetria coincidono con gli assi cartesiani (come in figura) è:
Quando il secondo membro dell'equazione è uguale a 1, i fuochi sono sull'asse delle x, mentre quando è uguale a -1 i fuochi sono sull'asse delle y.
Per un'iperbole con i fuochi sull'asse delle x, le coordinate dei vertici sono:
E le coordinate dei fuochi sono:
E le equazioni delle bisettrici sono: