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_drafts/obsidian-md/blog/2023-09-20-热二到克劳修斯到熵.md

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+https://zhuanlan.zhihu.com/p/58523720
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+# 热力学第二定律
+1. 开尔文：不可能从单一热源吸收热量，使之完全变为有用的功而不产生其他影响（"单一热源"指温度均匀并且恒定不变的热源，"其他影响"是指除了从单一热源吸热，把所吸收的热全部用来做功以外的其他任何变化
+2. 克劳修斯：不可能把热量从低温物体转移到高温物体而不引起其他变化
+”其他影响“、”其他变化“包括机器状态的变化
+两种表述等价：
+若有一个热机违反1，则将其与一个卡诺热机相连，使其对卡诺机做功逆向运行，就违反了2，故2推出1
+若有一个热机违反2，则使其在另一个热机运行后把能量重新运回去就违反了1，故1推出2
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+# 卡诺定理
+任意热机效率小于等于可逆热机，等号当且仅当可逆热机
+
+一个热机从 $T_1$ 处吸收 $Q$ 的热量，做 $\eta Q$ 的功，在 $T_2$ 处释放 $(1-\eta)Q$ 的热量
+将其与一个效率为 $\eta'$ 可逆热机连接（该可逆热机反向运转）
+
+则运行一次 $T_2$ 处少了 $(\frac{\eta}{\eta'}-1)Q$ 的热量，$T_1$ 处多了相应的热量
+
+那么必须 $\eta\le \eta'$ 否则违背热力学第二定律
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+若该热机不可逆，则 $\eta<\eta'$ 否则整个循环不产生任何影响，违背不可逆性
+若该热机可逆，则有 $\eta\le\eta'$ 和 $\eta'\le\eta$ 故 $\eta=\eta'$
+
+# 克劳修斯不等式
+$\oint \frac{\delta Q}{T}\le0$ 等号当且仅当在可逆循环取到
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+把一个循环分解成无数个卡诺循环和不可逆的类似循环
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+每个小循环满足 $\frac{Q_1}{T_1}+\frac{Q_2}{T_2}\le 0$ （由卡诺定理
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+全部积起来即可得证
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+# 熵
+可逆过程中，$dS=\frac{\delta Q}{T}$
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+# 熵增原理
+对于一个从 $A$ 到 $B$ 的过程，补上一个从 $B$ 到 $A$ 的可逆过程形成循环
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+$\int_{A}^{B} \frac{\delta Q}{T} + \int_{B}^{A} \frac{\delta Q_{rev}}{T_{rev}}=\int_{A}^{B} \frac{\delta Q}{T}+S_A-S_B\le 0$
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+$\int_{A}^{B} \frac{\delta Q}{T} \le S_B-S_A$
+
+# 用体积和温度表示熵
+假设物质的量不变
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+$dQ=dU+PdV=\frac{i}{2}nRdT+nRT\frac{dV}{V}=nR[\frac{i}{2}dT+T\frac{dV}{V}]$
+$S(V_B,T_B)-S(V_A,T_A)=\int_{A}^{B} \frac{dQ}{T}=\int_{A}^{B}nR[\frac{i}{2}\frac{dT}{T}+\frac{dV}{V}]=nR[\frac{i}{2}\ln\frac{T_B}{T_A}+\ln\frac{V_B}{V_A}]$
+$S(V,T)=nR[\frac{i}{2}\ln T+\ln{V}]+a$（$a$ 叫做化学常数
+另一种形式 $S(V,T)=Nk[\frac{1}{\gamma-1}\ln T+\ln V]+a$