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2023-10-04-CyrxNote-Math-003/index.html

@@ -530,7 +530,8 @@ <h3 id="5、-Delta-的出场"><a href="#5、-Delta-的出场" class="headerlink"
 <p>首先，不等号左边的一元二次函数，开口向上。</p>
 <p>然后，没有部分在 $x$ 轴的下方。换句话说，$x^2+ax+4\ge0$ 对所有实数 $x$ 成立。</p>
 <p>那么，一元二次方程 $x^2+ax+4=0$ 应该无实数解或两个实数解相同。即，$\Delta=a^2-4\times1\times4\le0$。再根据一元二次方程的解法解出来即可。</p>
-<h3 id="6、一元二次函数与它的最值"><a href="#6、一元二次函数与它的最值" class="headerlink" title="6、一元二次函数与它的最值"></a>6、一元二次函数与它的最值</h3><p>已知关于 $x$ 的不等式 $-x^2+4x\ge a^2-3a$ 在 $R$ 上有解，则 $a$ 的取值范围是？</p>
+<h3 id="6、一元二次函数与它的最值"><a href="#6、一元二次函数与它的最值" class="headerlink" title="6、一元二次函数与它的最值"></a>6、一元二次函数与它的最值</h3><p><a id="ref-point-01"></a></p>
+<p>已知关于 $x$ 的不等式 $-x^2+4x\ge a^2-3a$ 在 $R$ 上有解，则 $a$ 的取值范围是？</p>
 <p>首先，可以发现 $-x^2+4x$ 的最大值为 $4$，这应该不难求出。</p>
 <p>若 $a&gt;b$ 恒成立，则 $a$ 的值必须大于 $b$ 可能达到的最大值。若 $a&lt;b$ 恒成立，则 $a$ 的值必须小于 $b$​ 可能达到的最小值。 </p>
 <p>若 $a\ge b$ 恒成立，则 $a$ 的值必须大于等于 $b$ 可能达到的最大值。若 $a\le b$ 恒成立，则 $a$ 的值必须小于等于 $b$ 可能达到的最小值。 </p>
@@ -592,6 +593,9 @@ <h3 id="7、一元二次不等式恒成立的问题"><a href="#7、一元二次
 <p>当 $a-3&gt;0$ 时，由上表可以发现这是不可能实现恒成立的。</p>
 <p>当 $a-3&lt;0,a&lt;3$ 时，$\Delta&lt;0$，也就是说 $[2(a-2)]^2-4\times(a-3)\times(-4)&lt;0$，用一元二次不等式的解法可知 $-2\sqrt2&lt;a&lt;2\sqrt2$。</p>
 <p>综上，$-2\sqrt2&lt;a&lt;2\sqrt2$。</p>
+<p>再看看这个：$\frac{2x^2+2mx+m}{4x^2+6x+3}&lt;1$ 对所有实数 $x$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是？</p>
+<p>首先，因为 $6^2-4\times4\times3=-12&lt;0$，可以知道 $4x^2+6x+3$ 始终大于 $0$。因此，可以放心地将分母移项到右边，再稍微整理一下，得 $0&lt;2x^2+(6-2m)x+(3-m)$。</p>
+<p>结合上表，可知 $\Delta=(6-2m)^2-4\times2\times(3-m)=4m^2-24m+36-24+8m=4m^2-16m+12=4(m-1)(m-3)&lt;0$，解得 $1&lt;m&lt;3$。</p>
 <h3 id="8、在限定-x-的取值范围的前提下，一元二次函数的最值"><a href="#8、在限定-x-的取值范围的前提下，一元二次函数的最值" class="headerlink" title="8、在限定 $x$ 的取值范围的前提下，一元二次函数的最值"></a>8、在限定 $x$ 的取值范围的前提下，一元二次函数的最值</h3><p>我们都知道，当 $x$ 的取值范围不限定时，一元二次函数要么只有最大值，要么只有最小值。但是限定了 $x$ 的取值范围后，一元二次函数就有可能同时拥有最小值和最大值了。</p>
 <table>
     <tr>
@@ -652,6 +656,13 @@ <h3 id="8、在限定-x-的取值范围的前提下，一元二次函数的最
 <p>因此，$-a&gt;3,a&lt;-3$。</p>
 <p>但题目中要求的是必要不充分条件。关于这个，可以参考<a href="/2023-09-23-CyrxNote-Math-002/#toc-heading-1">这里</a>。</p>
 <p>综上，此题选 $B$。</p>
+<h3 id="9、尝试将其它字母分离出来"><a href="#9、尝试将其它字母分离出来" class="headerlink" title="9、尝试将其它字母分离出来"></a>9、尝试将其它字母分离出来</h3><p>恰好做了道比较有趣的题，记录一下。</p>
+<p>若 $mx^2-mx-6+m&lt;0$ 在 $1\le m\le3$ 时均成立，则实数 $x$ 的取值范围？</p>
+<p>需要注意的是，这次是已知 $m$ 求 $x$ 的范围，而不是已知 $x$ 求 $m$ 的范围。</p>
+<p>首先，$mx^2-mx-6+m=m(x^2-x+1)-6$，原不等式等价于 $m(x^2-x+1)&lt;6$。</p>
+<p>然后，$1\le m$ 说明 $m$ 是正数，那我们就可以放心地将 $m$ 移到右边而不用变不等号，得 $x^2-x+1&lt;\frac{6}{m}$。</p>
+<p>可以发现，$\frac{6}{m}$ 应取最小值（<a onclick="javascript:window.location.href='#ref-point-01';">为什么？</a>），即 $m=3$ </p>
+<p>由此，我们就得到了 $x^2-x+1&lt;0$，花点时间解一下，得 $\frac{1-\sqrt{5}}{2}&lt;x&lt;\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。</p>
 
 
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