Fixed Riesz-Frechet theorem's proof

Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/12lecture.tex

@@ -25,7 +25,7 @@ \section{Сопряжённое пространство}
 
 \begin{proof} (безкоординатный метод)
 	\begin{itemize}
-		\item (Существование) Если $f = 0$, то можно взять $y_0 = 0$ и всё. Иначе $f \neq 0$, а значит есть $x_0 \notin \ker f$. Покажем, что $\ker f \oplus [x_0] = H$. Для этого нам надо представить произвольный $x \in H$ в виде $x = z + \alpha x_0$, где $z \in \ker f$ и $\alpha \in \K$. Покажем, что мы можем подобрать $\alpha$ так, чтобы $z := x - \alpha x_0$ действительно лежал в ядре:
+		\item (Существование) Если $f = 0$, то можно взять $y_0 = 0$ и всё. Иначе $f \neq 0$, а значит $\ker f \neq H$. Ядро является подпространством, поэтому к нему применима теорема о проекции: $\ker f \oplus (\ker f)^\bot = H$. Стало быть, существует $x_0 \in (\ker f)^\bot$. Покажем, что $\ker f \oplus [x_0] = H$. Для этого нам надо представить произвольный $x \in H$ в виде $x = z + \alpha x_0$, где $z \in \ker f$ и $\alpha \in \K$. Покажем, что мы можем подобрать $\alpha$ так, чтобы $z := x - \alpha x_0$ действительно лежал в ядре:
 		\[
 			x = z + \alpha x_0 \Lora fx = fz + \alpha fx_0 = \alpha fx_0 \Lora \alpha = \frac{fx}{fx_0}
 		\]