Made a lot of fixes

Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/10lecture.tex

@@ -89,11 +89,11 @@ \subsection*{Собственные значения компактных опе
 \end{lemma}
 
 \begin{proof}
-	Применим лемму об инвариантности. Заметим, что $M = \ker A_\lambda$ инвариантен относительно $A$, а значит и $M^\bot = \cl(\im A_\lambda)$ инвариантен относительно $A$. Рассмотрим сужение $\wdt{A} = A|_{\cl(\im A_\lambda)}$ (<<понять это невозможно, можно только запомнить>>). Это тоже компактный самосопряжённый оператор, действующий из $\cl(\im A_\lambda)$ в само себя. Если мы покажем, что $\wdt{A}$ сюръективен, то это будет доказательство исходного утверждения. В самом деле, если это так, то $\cl(\im A_\lambda) = A_\lambda(\cl(\im A_\lambda)) \subseteq \im A_\lambda$. Итак, заметим, что у $\wdt{A}$ нет собственных векторов, соответствующих $\lambda$. Это так, ибо
+	Применим лемму об инвариантности. Заметим, что $M = \ker A_\lambda$ инвариантен относительно $A$ и $A_\lambda$, а значит и $M^\bot = \cl(\im A_\lambda)$ инвариантен относительно тех же операторов. Если мы докажем, что $A_\lambda|_{\cl(\im A_\lambda)}$ является сюръективным оператором, то всё будет доказано. Действительно, получим тогда $\cl(\im A_\lambda) = A_\lambda(\cl \im A_\lambda) \subseteq \im A_\lambda$. Обозначим $\tilde{A} = A|_{\cl(\im A_\lambda)}$ (<<понять это невозможно, можно только запомнить>>). Это тоже компактный самосопряжённый оператор, действующий из $\cl(\im A_\lambda)$ в само себя. Заметим, как связаны собственные значения $\wdt{A}$ с исходными:
 	\[
-		(\wdt{A})_\lambda = \wdt{A} - \lambda I = A|_{\cl(\im A_\lambda)} - \lambda I = (A - \lambda I)|_{\cl(\im A_\lambda)} = \wdt{(A_\lambda)}
+		(\wdt{A})_\lambda = \wdt{A} - \lambda I = A|_{\cl(\im A_\lambda)} - \lambda I|_{\cl(\im A_\lambda)} = (A - \lambda I)|_{\cl(\im A_\lambda)} = \wdt{(A_\lambda)}
 	\]
-	А как мы знаем по теореме \ref{sao_fred_th}, все собственные вектора лежат в другой части прямого разложения. Раз так, то $\lambda \notin \{0\} \cup \sigma_p(\wdt{A})$. По доказанной лемме \ref{simple_spectre} может быть лишь верно $\lambda \in \rho(\wdt{A})$. Значит, оператор $\wdt{A}$ биективен, что включает в себя его сюрьективность.
+	А как мы знаем по теореме \ref{sao_fred_th}, все собственные вектора лежат в другой части прямого разложения. Раз так, то $\lambda \notin \{0\} \cup \sigma_p(\wdt{A})$. По доказанной лемме \ref{simple_spectre} может быть лишь верно $\lambda \in \rho(\wdt{A})$. Значит, оператор $(\wdt{A})_\lambda = \wdt{(A_\lambda)}$ биективен, что включает в себя его сюрьективность.
 \end{proof}
 
 \begin{proof} (теоремы)

Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/13lecture.tex

@@ -17,6 +17,13 @@ \subsection{В пространстве $L_1(\R)$}
 	Несложно видеть, что $F$ --- линейный оператор.
 \end{note}
 
+\begin{definition} \textcolor{red}{(не по лектору)}
+	\textit{Обратным преобразованием Фурье функции $g$} называется функция, заданная следующим образом:
+	\[
+		\wdt{g}(x) = F^{-1}[g](x) := \frac{1}{2\pi} \text{v.p.} \int_\R g(y)e^{ixy}d\mu(y)
+	\]
+\end{definition}
+
 \begin{proposition}
 	Преобразование Фурье отображает функции из $L_1(\R)$ в $B(\R)$ --- множество ограниченных функций.
 \end{proposition}

Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/14lecture.tex

@@ -23,33 +23,47 @@
 
 \subsection{В пространстве $L_2(\R)$}
 
+\begin{note}
+	До этого момента мы рассмтривали преобразование Фурье в \textit{ассимметричной форме} (коэффициенты перед интегралами разные). Далее нам крайне важно перейти от этого варианта к симметричному, то есть теперь и в прямом, и в обратном преобразовании Фурье будет записан коэффициент $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ перед интегралом.
+\end{note}
+
 \begin{reminder}
-	\textit{Пространством Шварца} $S \subset L_2(\R)$ называется множество бесконечно дифференциемых функций, которые вместе со всеми своими производными убывают на бесконечности быстрее любой степени:
+	\textit{Пространством Шварца} $S \subset L_1(\R) \cap L_2(\R)$ называется множество бесконечно дифференциемых функций, которые вместе со всеми своими производными убывают на бесконечности быстрее любой степени:
 	\[
 		S = \{f \in C^\infty(\R) \colon \forall n \in \N_0, m \in \N\ \ f^{(n)}(x) = o(x^m),\ x \to \infty\}
 	\]
 \end{reminder}
 
-\begin{reminder}
-	Замыкание $S$ --- это пространство $L_2(\R)$ (естественно подразумевается замыкание по 2-норме):
-	\[
-		\cl S = L_2(\R)
-	\]
-\end{reminder}
+\begin{proposition} \textcolor{red}{(не по лектору)}
+	Если пространство Шварца инвариантно относительно преобразования Фурье.
+\end{proposition}
 
-\begin{reminder}
-	Преобразование Фурье биективно на пространстве Шварца:
-	\[
-		FS = S 
-	\]
+\begin{reminder} \textcolor{red}{(не по лектору)}
+	Если $f(x), xf(x) \in L_1(\R)$, то преобразование Фурье $g = F[f]$ будет дифференцируемо на $\R$.
 \end{reminder}
 
-\begin{proposition}
-	Преобразование Фурье продолжается на $L_2(\R)$. Более того, \\ $F[L_2(\R)] \subseteq S$.
-\end{proposition}
+\begin{corollary} \textcolor{red}{(не по лектору)}
+	Если $f(x), xf(x), \ldots, x^pf(x) \in L_1(\R)$, то преобразование Фурье $g = F[f]$ будет $p$ раз дифференцируемо на $\R$.
+\end{corollary}
 
-\begin{proof}
-	Как известно из предыдущего семестра, линейный ограниченный оператор, определённый на линейном многообразии, продолжается на его замыкание с сохранением нормы. Именно это тут и происходит.
+\begin{corollary} \textcolor{red}{(не по лектору)}
+	Если $f(x) \in L_1(\R)$ и $\forall p \in \N\ x^pf(x) \in L_1(\R)$, то преобразование Фурье $g = F[f]$ дифференцируемо бесконечное число раз на $\R$.
+\end{corollary}
+
+\begin{proof} \textcolor{red}{(не по лектору)}
+	Пусть $f \in S$. Функции пространства Шварца можно описать эквивалентным образом:
+	\[
+		\exists C_{n, m} \in \R_+ \such \forall x \in \R\ \ |x^mf^{(n)}(x)| \le C_{n, m}
+	\]
+	Покажем, что из этого факта следует $x^pf(x) \in L_1(\R)$ при любом $p \in \N$. Действительно, можно написать следующее:
+	\[
+		\forall m \in \N\ \ \exists C_{0, m + 2} \in \R_+ \such \forall x \in \R\ \ |x^mf(x)| \le \frac{C_{0, m + 2}}{x^2}
+	\]
+	Отсюда тривиально получаем абсолютную интегрируемость. Стало быть, преобразование Фурье $g = F[f]$ обладает всеми производными. Чтобы доказать, что они тоже являются функциями из пространства Шварца, воспользуемся следующим равенством:
+	\[
+		(iy)^qg^{(m)}(y) = (-i)^qF\big[(x^mf(x))^{(q)}\big](y)
+	\]
+	Так как $F$ действует на пространствах $L_1(\R) \to C_0(\R)$, то требуемое установлено.
 \end{proof}
 
 \begin{proposition}
@@ -65,23 +79,45 @@ \subsection{В пространстве $L_2(\R)$}
 
 \begin{proof}~
 	\begin{enumerate}
-		\item Было в курсе математического анализа \textcolor{red}{Я пока морально не готов}
+		\item В силу уже доказанного факта, достаточно показать, что для любой $g \in S$ найдётся прообраз по преобразованию Фурье. Для этого, наоборот, посмотрим на образ:
+		\[
+			f^*(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\R g(y)e^{-iyx}d\mu(y)
+		\]
+		Положим $f(x) = f^*(-x)$. Из уже доказанного, $f^* \in S$, а значит и $f \in S$. Осталось воспользоваться формулой обращения:
+		\[
+			g(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\R f^*(x)e^{ixy}d\mu(x) = \int_\R f(x)e^{-ixy}d\mu(x) = F[f](y)
+		\]
 
 		\item Распишем скалярное произведение с использованием \textit{формулы обращения} (она идёт без доказательства):
 		\begin{multline*}
-			(f, g) = \int_\R f(x)\ole{g(x)}d\mu(x) = \int_\R f(x)\ole{\ps{\int_\R \wdh{g}(y)e^{ixy}d\mu(y)}}d\mu(x) =
+			(f, g) = \int_\R f(x)\ole{g(x)}d\mu(x) = \int_\R f(x)\ole{\ps{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\R \wdh{g}(y)e^{ixy}d\mu(y)}}d\mu(x) =
 			\\
-			\int_\R \int_\R f(x)\ole{\wdh{g}(y)}e^{-ixy}d\mu(x)d\mu(y) = \int_\R \ole{\wdh{g}(y)} \int_\R f(x)e^{-ixy}d\mu(x)d\mu(y) = (\wdh{f}, \wdh{g})
+			\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\R \int_\R f(x)\ole{\wdh{g}(y)}e^{-ixy}d\mu(x)d\mu(y) = \int_\R \ole{\wdh{g}(y)} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\R f(x)e^{-ixy}d\mu(x)d\mu(y) = (\wdh{f}, \wdh{g})
 		\end{multline*}
 
 		\item Докажем именно ту часть, что $F^2f(x) = f(-x)$. Заметим связь между прямым и обратным преобразованием Фурье:
 		\[
-			F[f]y = \wdh{f}(y) = \int_\R f(x)e^{-ixy}d\mu(x) = \int_\R f(x)e^{ix(-y)}d\mu(x) = \check{f}(-y)
+			F[f]y = \wdh{f}(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\R f(x)e^{-ixy}d\mu(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\R f(x)e^{ix(-y)}d\mu(x) = \check{f}(-y)
 		\]
 		Так как преобразование Фурье биективно, можно применить его к полученному равенству и получить требуемое.
 	\end{enumerate}
 \end{proof}
 
+\begin{reminder}
+	Замыкание $S$ --- это пространство $L_2(\R)$ (естественно подразумевается замыкание по 2-норме):
+	\[
+	\cl S = L_2(\R)
+	\]
+\end{reminder}
+
+\begin{proposition}
+	Преобразование Фурье продолжается на $L_2(\R)$. Более того, \\ $F[L_2(\R)] \subseteq L_2(\R)$
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+	Как известно из предыдущего семестра, линейный ограниченный оператор, определённый на линейном многообразии, продолжается на его замыкание с сохранением нормы. Именно это тут и происходит.
+\end{proof}
+
 \begin{corollary}
 	Имеет место 2 факта про преобразование Фурье
 	\begin{enumerate}
@@ -106,7 +142,7 @@ \subsection{В пространстве $L_2(\R)$}
 
 		\item Определим $g_N(y)$ как своего рода \textit{срезку преобразования Фурье}:
 		\[
-			g_N(y) = \int_{-N}^N g(x)e^{-ixy}d\mu(x)
+			g_N(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-N}^N g(x)e^{-ixy}d\mu(x)
 		\]
 		Тогда $g_N \xrightarrow[]{L_2} \wdh{g}$
 	\end{enumerate}
@@ -128,6 +164,6 @@ \subsection{В пространстве $L_2(\R)$}
 			Ff = F(\lim_{n \to \infty} f_n) = \lim_{n \to \infty} Ff_n = \lim_{n \to \infty} g_n = g
 		\]
 
-		\item \textcolor{red}{Без доказательства?}
+		\item Без доказательства
 	\end{enumerate}
 \end{proof}

Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/15lecture.tex

@@ -10,11 +10,17 @@
 \end{proposition}
 
 \begin{proof}
-	Так как $K \in L_2([a; b]^2)$ и $f \in L_2[a; b]$, то $K(x, t)f(t) \in L_2([a; b]^2)$. Нас просят показать конечность следующего интеграла:
+	Раз $K \in L_2([a; b]^2)$, то как функция по одному из своих аргументов $K$ тоже будет из $L_2[a; b]$. Коль скоро пространство $L_2[a; b]$ гильбертово, значение оператора Гильберта-Шмидта оценивается так:
+	\begin{multline*}
+		|(Af)(x)|^2 = \md{\int_a^b K(x, t)f(t)d\mu(t)}^2 = |(K(x, t), f(t))|^2 \le
+		\\
+		\int_a^b |K(x, t)|^2d\mu(t) \cdot \int_a^b |f(t)|^2d\mu(t) \le \|f\|^2 \cdot \int_a^b |K(x, t)|^2d\mu(t) < \infty
+	\end{multline*}
+	Отсюда также можно получить оценку на 2-норму для $Af$:
 	\[
-		\int_a^b \ps{\int_a^b K(x, t)f(t)d\mu(t)}^2d\mu(x) \le \int_a^b \int_a^b (K(x, t)f(t))^2d\mu(t)d\mu(x) < \infty
+		\|Af\|^2 = \int_a^b |(Af)(x)|^2d\mu(x) \le \|f\|^2 \int_a^b \int_a^b |K(x, t)|d\mu(t)d\mu(x) < \infty
 	\]
-	Конечность последнего интеграла следует из теоремы Фубини.
+	Стало быть, $(Af) \in L_2[a; b]$.
 \end{proof}
 
 \begin{theorem}
@@ -28,11 +34,11 @@
 \begin{proof}
 	$L_2[a; b]$ --- сепарабельное гильбертово пространство, поэтому в нём точно есть ортонормированный базис $\{\phi_n\}_{n = 1}^\infty$. Идея состоит в том, чтобы найти последовательность компактных операторов ${A_N}_{N = 1}^\infty \subseteq K(L_2[a; b])$, которые сходятся по норме к $A$. Тогда всё доказано по теореме \ref{compact_approx_th}. Итак, можно разложить ядро $K$ по вышеупомянутому базису:
 	\[
-		K(x, t) = \sum_{n, m = 1}^\infty c_{n, m}(t)\phi_n(x)\phi_m(y)
+		K(x, t) = \sum_{n, m = 1}^\infty c_{n, m}\phi_n(x)\phi_m(t)
 	\]
 	Возьмём за отдельные ядра --- <<срезки>> от ряда выше:
 	\[
-		K_N(x, t) = \sum_{n, m = 1}^N c_{n, m}(t)\phi_n(x)\phi_m(y)
+		K_N(x, t) = \sum_{n, m = 1}^N c_{n, m}\phi_n(x)\phi_m(t)
 	\]
 	Тогда, тривиальным образом $A_Nf(x) = \int_a^b K_N(x, t)f(t)d\mu(t) \in K(L_2[a; b])$. Осталось вспомнить, что норма оператора Фредгольма оценивается сверху 2-нормой ядра, а значит:
 	\[

Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/4lecture.tex

@@ -37,22 +37,22 @@
 \end{exercise}
 
 \begin{proof}
-	Нужно доказать, что ряд справа действительно является обратным к оператору $(1 + A)$ (дробь обозначает именно это). Обозначим $S_n = \sum_{k = 0}^n (-1)^kA^k$.
+	Нужно доказать, что ряд справа действительно является обратным к оператору $(I + A)$ (дробь обозначает именно это). Обозначим $S_n = \sum_{k = 0}^n (-1)^kA^k$.
 	\begin{enumerate}
 		\item Покажем, что $S_n$ сходятся к некоторому $S \in \cL(E)$. Во-первых, $S_n \in \cL(E)$ тривиальным образом, а в силу банаховости $\cL(E)$, достаточно проверить фундаментальность этой последовательности:
 		\[
 			\|S_{n + p} - S_n\| = \no{\sum_{k = n + 1}^{n + p} (-1)^k A^k} \le \sum_{k = n + 1}^{n + p} \|A\|^k < \eps \text{ (при $n > N$ для данного $\eps > 0$)}
 		\]
 
-		\item Так как многочлены от одного и того же оператора коммутируют, то если мы покажем предел $\lim_{n \to \infty} S_n(1 + A) = 1$, тогда $S(1 + A) = 1 = (1 + A)S$ и всё доказано. Раскроем выражение под пределом:
+		\item Так как многочлены от одного и того же оператора коммутируют, то если мы покажем предел $\lim_{n \to \infty} S_n(I + A) = I$, тогда $S(I + A) = I = (I + A)S$ и всё доказано. Раскроем выражение под пределом:
 		\[
-			S_n(1 + A) = S_n + S_nA = \sum_{k = 0}^n (-1)^kA^k + \sum_{k = 1}^{n + 1} (-1)^{k - 1}A^k = A^0 + (-1)^n A^{n + 1} = 1 + (-1)^nA^{n + 1}
+			S_n(I + A) = S_n + S_nA = \sum_{k = 0}^n (-1)^kA^k + \sum_{k = 1}^{n + 1} (-1)^{k - 1}A^k = A^0 + (-1)^n A^{n + 1} = I + (-1)^nA^{n + 1}
 		\]
 		Оценим норму последнего слагаемого:
 		\[
 			\|(-1)^nA^{n + 1}\| \le \|A\|^{n + 1} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \Lolra \lim_{n \to \infty} (-1)^nA^{n + 1} = 0
 		\]
-		Стало быть, $\lim_{n \to \infty} S_n(1 + A) = 1 + 0 = 1$, что и требовалось доказать.
+		Стало быть, $\lim_{n \to \infty} S_n(I + A) = I + 0 = I$, что и требовалось доказать.
 	\end{enumerate}
 \end{proof}
 
@@ -84,7 +84,7 @@ \section{Сопряжённые операторы}
 \textcolor{red}{Сюда надо картинку добавить}
 
 \begin{definition}
-	Пусть $A \in \cL(E_1, E_2)$. Тогда \textit{сопряжённым оператором} $A^* \colon E_2^* \to E_1^*$ называются оператор, удовлетворяющий условию:
+	Пусть $A \colon E_1 \to E_2$. Тогда \textit{сопряжённым оператором} $A^* \colon E_2^* \to E_1^*$ называются оператор, удовлетворяющий условию:
 	\[
 		\forall g \in E_2^*\ \forall x \in E_1\ (A^*g)x = g(Ax)
 	\]
@@ -103,7 +103,7 @@ \section{Сопряжённые операторы}
 \end{proof}
 
 \begin{definition}
-	Пусть $E_1 = H_1, E_2 = H_2$ --- гильбертовы пространства, $A \in \cL(H_1, H_2)$. Тогда \textit{эрмитово сопряжённым оператором} $A^* \in E_2 \to E_1$ называется оператор, удовлетворяющий условию:
+	Пусть $E_1 = H_1, E_2 = H_2$ --- гильбертовы пространства, $A \in \cL(H_1, H_2)$. Тогда \textit{эрмитово сопряжённым оператором} $A^* \colon H_2 \to H_1$ называется оператор, удовлетворяющий условию:
 	\[
 		\forall x \in E_1, y \in E_2\ \ (Ax, y)_{H_2} = (x, A^*y)_{H_1}
 	\]

Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/6lecture.tex

@@ -11,7 +11,7 @@ \section{Спектр. Резольвента}
 	\[
 		\rho(A) = \{\lambda \in \Cm \such \exists (A - \lambda I)^{-1} \in \cL(E)\}
 	\]
-	Все $\lambda \in \Cm$, попадающие в резольвентное множество, называются \textit{регулярными}.
+	Все $\lambda \in \Cm$, попадающие в резольвентное множество, называются \textit{регулярными значениями}.
 \end{definition}
 
 \begin{definition}