Moved proof near the theorem, moved the corollary to examples

Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/11lecture.tex

@@ -77,6 +77,48 @@
 	Если в условиях последней теоремы $\{A_n\}_{n = 1}^\infty$ сходятся на $Y$ не просто поточечно, а по норме операторов, то предел тоже является линейным ограниченным оператором.
 \end{corollary}
 
+\begin{proof} (теоремы \ref{op_cont_th})
+	\begin{enumerate}
+		\item (Идея) Пусть $\wdt{A}$ --- некоторое продолжение оператора $A$ по условию теоремы. Тогда несложно заметить, что по условию выполнено утверждение:
+		\[
+		\forall x \in E_1\ \exists \{x_n\}_{n = 1}^\infty \subseteq D(A) \such \lim_{n \to \infty} x_n = x \wedge \wdt{A}x_n = Ax_n \xrightarrow[n \to \infty]{} \wdt{A}x
+		\]
+		Стало быть, нужно отталкиваться от поточечного определения $\wdt{A}$.
+
+		\item (Существование) Определим $\wdt{A}$ согласно идее (оператор $A$ непрерывен, поэтому пределы всегда есть):
+		\[
+		\forall x \in E_1\ \forall \{x_n\}_{n = 1}^\infty \subseteq D(A) \such \lim_{n \to \infty} x_n = x \Ra \wdt{A}x := \lim_{n \to \infty} Ax_n
+		\]
+		Теперь, покажем корректность такого определения:
+		\begin{itemize}
+			\item Значение $\wdt{A}$ не зависит от рассматриваемой последовательности $\{x_n\}_{n = 1}^\infty \subseteq D(A)$, $\lim_{n \to \infty} x_n = x$. Действительно, рассмотрим 2 последовательности $\lim_{n \to \infty} x_{n, 1} = \lim_{n \to \infty} x_{n, 2} = x$. Тогда, можно написать следующее неравенство:
+			\[
+			\|Ax_{1, n} - Ax_{2, m}\| \le \|A\| \cdot \|x_{1, n} - x_{2, m}\| \xrightarrow[n, m \to \infty]{} 0
+			\]
+			Более строго, нужно поочерёдно устремить в бесконечность $n, m \to \infty$ и тем самым сделать 2 предельных перехода.
+
+			\item Почему $\wdt{A}$ --- линейный оператор? Это тривиально из линейности предела:
+			\begin{multline*}
+			\forall x, y \in E_1,\ \alpha, \beta \in \K\ \ \wdt{A}(\alpha x + \beta y) = \lim_{n \to \infty} A(\alpha x_n + \beta y_n) =
+			\\
+			\alpha \lim_{n \to \infty} Ax_n + \beta \lim_{n \to \infty} Ay_n = \alpha Ax + \beta Ay
+			\end{multline*}
+
+			\item Почему $\wdt{A}$ --- ограниченный оператор? Воспользуемся старым добрым предельным переходом:
+			\[
+			\|\wdt{A}x_n\| = \|Ax_n\| \le \|A\| \cdot \|x_n\| \Ra \|\wdt{A}x\| \le \|A\| \cdot \|x\| \Ra \|\wdt{A}\| \le \|A\|
+			\]
+			При этом из определения $\wdt{A}$ сразу следует, что $\|\wdt{A}\| \ge \|A\|$. Таким образом, мы сразу установили равенство $\|\wdt{A}\| = \|A\|$
+		\end{itemize}
+
+		\item (Единственность) Предположим, есть 2 продолжающих оператора: $\wdh{A}$ и $\wdt{A}$. Как мы и требовали, они должны быть согласованы с $A$. Стало быть, можно записать следующее:
+		\[
+		\forall x \in E_1\ \ \wdh{A}x = \lim_{n \to \infty} Ax_n = \wdt{A}x
+		\]
+		Следовательно, $\wdh{A} = \wdt{A}$.
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
 \subsection*{Применение теоремы Банаха-Штейнгауза}
 
 \begin{problem}

Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/12lecture.tex

@@ -2,48 +2,6 @@
 	Доказать, что для любой точки $x_0 \in [-\pi; \pi]$ существует функция $f \in C_{2\pi}$ такая, что частные суммы Фурье $S_n(f, x_0)$ расходятся.
 \end{exercise}
 
-\begin{proof} (теоремы \ref{op_cont_th})
-	\begin{enumerate}
-		\item (Идея) Пусть $\wdt{A}$ --- некоторое продолжение оператора $A$ по условию теоремы. Тогда несложно заметить, что по условию выполнено утверждение:
-		\[
-			\forall x \in E_1\ \exists \{x_n\}_{n = 1}^\infty \subseteq D(A) \such \lim_{n \to \infty} x_n = x \wedge \wdt{A}x_n = Ax_n \xrightarrow[n \to \infty]{} \wdt{A}x
-		\]
-		Стало быть, нужно отталкиваться от поточечного определения $\wdt{A}$.
-
-		\item (Существование) Определим $\wdt{A}$ согласно идее (оператор $A$ непрерывен, поэтому пределы всегда есть):
-		\[
-			\forall x \in E_1\ \forall \{x_n\}_{n = 1}^\infty \subseteq D(A) \such \lim_{n \to \infty} x_n = x \Ra \wdt{A}x := \lim_{n \to \infty} Ax_n
-		\]
-		Теперь, покажем корректность такого определения:
-		\begin{itemize}
-			\item Значение $\wdt{A}$ не зависит от рассматриваемой последовательности $\{x_n\}_{n = 1}^\infty \subseteq D(A)$, $\lim_{n \to \infty} x_n = x$. Действительно, рассмотрим 2 последовательности $\lim_{n \to \infty} x_{n, 1} = \lim_{n \to \infty} x_{n, 2} = x$. Тогда, можно написать следующее неравенство:
-			\[
-				\|Ax_{1, n} - Ax_{2, m}\| \le \|A\| \cdot \|x_{1, n} - x_{2, m}\| \xrightarrow[n, m \to \infty]{} 0
-			\]
-			Более строго, нужно поочерёдно устремить в бесконечность $n, m \to \infty$ и тем самым сделать 2 предельных перехода.
-
-			\item Почему $\wdt{A}$ --- линейный оператор? Это тривиально из линейности предела:
-			\begin{multline*}
-				\forall x, y \in E_1,\ \alpha, \beta \in \K\ \ \wdt{A}(\alpha x + \beta y) = \lim_{n \to \infty} A(\alpha x_n + \beta y_n) =
-				\\
-				\alpha \lim_{n \to \infty} Ax_n + \beta \lim_{n \to \infty} Ay_n = \alpha Ax + \beta Ay
-			\end{multline*}
-
-			\item Почему $\wdt{A}$ --- ограниченный оператор? Воспользуемся старым добрым предельным переходом:
-			\[
-				\|\wdt{A}x_n\| = \|Ax_n\| \le \|A\| \cdot \|x_n\| \Ra \|\wdt{A}x\| \le \|A\| \cdot \|x\| \Ra \|\wdt{A}\| \le \|A\|
-			\]
-			При этом из определения $\wdt{A}$ сразу следует, что $\|\wdt{A}\| \ge \|A\|$. Таким образом, мы сразу установили равенство $\|\wdt{A}\| = \|A\|$
-		\end{itemize}
-
-		\item (Единственность) Предположим, есть 2 продолжающих оператора: $\wdh{A}$ и $\wdt{A}$. Как мы и требовали, они должны быть согласованы с $A$. Стало быть, можно записать следующее:
-		\[
-			\forall x \in E_1\ \ \wdh{A}x = \lim_{n \to \infty} Ax = \wdt{A}x
-		\]
-		Следовательно, $\wdh{A} = \wdt{A}$.
-	\end{enumerate}
-\end{proof}
-
 \section{Сопряжённое пространство}
 
 \begin{note}

Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/14lecture.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 \begin{corollary}
 	Пусть $M \subset E$ --- линейное многообразие, причём $\cl M \neq E$ и дополнительно $x_0 \notin \cl M$. Тогда существует функционал $f \in E^*$, обладающий следующими свойствами:
 	\begin{enumerate}
-		\item $\ker f \subseteq M$
+		\item $\ker f \supseteq M$
 
 		\item $f(x_0) = 1$
 
@@ -60,10 +60,6 @@
 	\]
 \end{proof}
 
-\begin{corollary} (из следствия)
-	Если $E \neq \{0\}$, то и $E^* \neq \{0\}$.
-\end{corollary}
-
 \begin{corollary}
 	Если точки $x, y \in E$ таковы, что $\forall f \in E^*\ f(x) = f(y)$, то $x = y$.
 \end{corollary}
@@ -86,6 +82,8 @@
 \begin{example}
 	Приведём пару примеров использования следствий теоремы Хана-Банаха (далее номер примера соответствует следствию, которое оно использует):
 	\begin{enumerate}
+		\item[2.] Можно задаться серьёзным вопросом: <<А верно ли, что если $E \neq \{0\}$, то и $E^* \neq \{0\}$?>> То есть всегда ли есть нетривиальный функционал для нетривиального пространства $E$? Оказывается да, ровно это нам доказывается второе следствие.
+
 		\item[2.] При помощи этого следствия можно, например, провести \textit{опорную гиперплоскость}. Рассмотрим вещественное пространство $E$, сферу $S := S(0, 1)$ и точку $x_0 \in S$. Гиперплоскость должна задаваться уравнением $f(x) = \alpha$, где $f \in E^*$ как минимум. И нам нужна такая гиперплоскость, что $f(x_0) = \alpha$, а сфера лежит по одну сторону от этой гиперплоскости, то есть (не умаляя общности, можем выбрать знак неравенства):
 		\[
 			\forall x \in S\ \ f(x) \le \alpha = f(x_0)