added Podlipskij 2023 lectures

Lectures/1_Semester/Analytic_Geometry/2023_Podlipskij/lectures/lecture01.tex

@@ -0,0 +1,226 @@
+\section{Матрицы}
+
+\subsection{Матрицы. Специальные виды матриц}
+
+\begin{definition}
+	$\textit{Матрицей m$\times$n}$ называется упорядоченный набор из $m \cdot n$ чисел, записанных в таблицу, состоящую из m строк и n столбцов.
+\end{definition}
+
+
+
+\textbf{Обозначения:}
+\begin{itemize}
+	\item A, B - матрицы
+	\item (...), ||...|| - матрицы
+	\item $a_{ij}$ - элемент матрица, расположенный в i-той строке j-того столбца
+\end{itemize}
+
+
+\textbf{Специальные виды матриц}
+\begin{itemize}
+	\item $\textit{строка}$ $-$ матрица, состоящая из 1 строки и n столбцов
+	\item $\textit{столбец}$ $-$ матрица, состоящая из n строк и 1 столбца
+	\item $\textit{квадратная}$ $-$ матрица, в которой количество строк равняется количеству столбцов
+	\item $\textit{единичная}$ $-$ матрица, элементы главной диагонали которой являются единицами, а остальные $-$ нулями, обозначается буквой E
+	\item $\textit{треугольная}$ $-$ матрица, у которой элементы над (нижняя треугольная) или под главной диагональю (верхняя треугольная) являются нулями
+	\item $\textit{диагональная}$ $-$ матрица, у которой все элементы кроме элементов главной диагонали являются нулями, обозначается diag
+	\item $\textit{симметрическая}$ $-$ матрица, элементы которой симметричны относительно главной диагонали
+	\item $\textit{кососимметрическая}$ $-$ матрица, элементы которой симметричны относительно главной диагонали, но противоположны по знаку, элементы главной диагонали $-$ нули
+	\item $\textit{нулевая}$ $-$ матрица, полностью состоящая из нулей
+\end{itemize}
+
+При этом к квадратным матрицам относятся единичные, треугольные, диагональные, симметрические и кососимметрические.
+
+
+
+\subsection{Операции над матрицами}
+
+\begin{enumerate}
+	\item A = B, если матрицы имеют одинаковые размеры и равны поэлементно
+	\item Сложение $C_{m \times n} = A_{m \times n} + B_{m \times n}$ определено для матриц одного размера, при чём $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$
+	\item Умножение матрицы A на число $\alpha \in \R$ $B = \alpha A, b_{ij} = \alpha a_{ij}$
+	\item Транспонирование матрицы $A_{m \times n}^T = B_{n \times m}$, где $b_{ij} = a_{ji}$
+
+\end{enumerate}
+
+\textit{Свойства операций:}
+\begin{itemize}
+	\item A + B = B + A
+	\item A + (B + C) = (A + B) + C
+	\item $\alpha$(A + B) = $\alpha$A + $\alpha$B
+	\item ($\alpha\beta$)A = $\alpha(\beta A)$
+	\item ($\alpha + \beta$)A = $\alpha A + \beta A$
+	\item $A^T = A$ для симметрической матрицы
+	\item $A^T = -A$ для кососимметрической матрицы
+	\item $(A^T)^T = A$
+	\item $(A + B)^T = A^T + B^T$
+	\item $(\alpha A)^T = \alpha A^T$
+\end{itemize}
+
+
+\subsection{Определитель(детерминант) матрицы}
+
+\begin{definition}
+	$\textit{Определитель(детерминант) матрицы}$ $-$ функция или числовая характеристика квадратной матрицы. Обозначается как det A, |A|.
+\end{definition}
+
+	Определитель n-мерной матрицы вычисляется как
+	\begin{enumerate}
+		\item |$a_{11}$| = $a_{11}$, при n = 1
+		\item 
+		$\begin{vmatrix}
+			a_{11} & a_{12}\\
+			a_{21} & a_{22}\\
+		\end{vmatrix}$ = $a_{11}a_{22}$ - $a_{12}a_{21}$, при n = 2
+		\item 
+		$\begin{vmatrix}
+			a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
+			a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
+			a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
+		\end{vmatrix}$ = $a_{11}
+		\begin{vmatrix}
+			a_{22} & a_{23}\\
+			a_{32} & a_{33}\\
+		\end{vmatrix}$ - $a_{12}
+		\begin{vmatrix}
+			a_{21} & a_{23}\\
+			a_{31} & a_{33}\\
+		\end{vmatrix}$ + $a_{13}
+		\begin{vmatrix}
+			a_{21} & a_{22}\\
+			a_{31} & a_{32}\\
+		\end{vmatrix}$ = $a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}$ - $a_{11}a_{23}a_{32}$ - $a_{12}a_{21}a_{33}$ - $a_{13}a_{22}a_{31}$, при n = 3
+	\end{enumerate}
+
+	\subsection{Решение систем линейных уравнений}
+
+	\begin{definition}
+		$\textit{Система линейных уравнений}$ $-$ система уравнений вида\\
+		$\begin{cases}
+			a_{11}x_1 + ... + a_{1n}x_n = b_1\\
+			...\\
+			a_{m1}x_1 + ... + a_{mn}x_n = b_m\\
+		\end{cases}$
+	\end{definition}
+
+	A = 
+	$\begin{pmatrix}
+		a_{11} & ... & a_{1n}\\
+		... & ... & ...\\
+		a_{m1} & ... & a_{mn}\\
+	\end{pmatrix}$ $-$ матрица системы\\
+	\newline
+	b = 
+	$\begin{pmatrix}
+		b_{1}\\
+		...\\
+		b_{m}\\
+	\end{pmatrix}$ $-$ столбец свободных членов\\
+	\newline
+	(A | b) = 
+	$\begin{pmatrix}
+		a_{11} & ... & a_{1n} & | b_1\\
+		... & ... & ... & | ...\\
+		a_{m1} & ... & a_{mn} & | b_{m}\\
+	\end{pmatrix}$ $-$ расширенная матрица системы\\
+
+	\newpage
+
+	$\textit{Совместная}$ система имеет хотя бы одно решение, иначе система считается $\textit{несовместной}$.
+
+	Система называется $\textit{однородной}$, если 
+	$\begin{pmatrix}
+		b_1\\
+		...\\
+		b_m\\
+	\end{pmatrix}$ = 
+	$\begin{pmatrix}
+		0\\
+		...\\
+		0\\
+	\end{pmatrix}$, иначе $\textit{неоднородной}$.
+
+	\begin{theorem}
+		Однородная система всегда совместна.
+	\end{theorem}
+	\begin{proof}
+		Если $x_1 = x_2 = ... = x_n = 0$, то система имеет решение.
+	\end{proof}
+
+	$\textbf{Правило Крамера (для двухмерной матрицы)}$. Система
+	$\begin{cases}
+		a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1\\
+		a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2\\
+	\end{cases}$ имеет единстывенное решение $\longleftrightarrow$ det
+	$\begin{pmatrix}
+		a_{11} & a_{12}\\
+		a_{21} & a_{22}\\
+	\end{pmatrix}$ $\ne$ 0.\\
+
+	Решения могут быть найдены по $\textit{формуле Крамера}$:
+
+	\begin{center}
+	$	x_1 =\frac{\Delta_1}{\Delta}$, $x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta}$, где
+	\end{center}
+	$\Delta$ $-$ определитель матрицы системы;\\
+	$\Delta_1$ = 
+	$\begin{vmatrix}
+		b_1 & a_{12}\\
+		b_2 & a_{22}\\
+	\end{vmatrix}$;
+	$\Delta_2$ = 
+	$\begin{vmatrix}
+		a_{11} & b_1\\
+		a_{21} & b_2\\
+	\end{vmatrix}$.\\
+
+	\newline
+
+	\textit{Свойства детерминанта:}
+	\begin{itemize}
+		\item det $A^T$ = det A
+		\item определитель треугольной (и диагональной) матрицы равен производонию диагональных элементов
+		\item det E = 1
+		\item если поменять местами две строки, то детерминант умножится на -1
+		\item если в матрице есть нулевая строка, то det A = 0
+	\end{itemize}
+
+	\subsection{Умножение матриц}
+
+	Умножение определено только для матриц с количеством столбцов в первой, равным количеству строк во второй.
+
+	\begin{center}
+		$\begin{pmatrix}
+			a_1 & ... & a_n\\
+	    \end{pmatrix}\cdot 
+		\begin{pmatrix*}
+			b_1\\
+			...\\
+			b_n\\
+		\end{pmatrix*}$ = 
+		$\begin{pmatrix*}
+			a_1 b_1 + ... + a_n b_n\\
+		\end{pmatrix*}$
+	\end{center}
+
+	Матрица C, являющаяся результатом умножения матрицы $A_{n \times m}$ на матрицу $B_{m \times k}$, имеет размеры $n \times k$, причём $c_{ij} = \sum_{S = 1}^{m} a_{is}b_{sj}$.\\
+
+	Если AB = BA, то такие матрицы A и B называются $\textit{перестановочными}$. Так, единичная матрица является перестановочной с любой другой матрицей подходящего размера.
+
+	\begin{theorem}
+		Если определено А(ВС), то определено и (AB)C, а результаты этих операций равны.
+	\end{theorem}
+	\begin{proof}
+		Пусть матрицы А, В и С имеют размеры соответственно $m \times n, n \times p$ и $p \times q$. Тогда умножение для них определено и выполняется\\
+
+		$\begin{cases}
+			A \cdot (B \cdot C) = A \cdot (BC)_{n \times q} = (ABC)_{m \times q}\\
+			(A \cdot B) \cdot C = (AB)_{m \times p} \cdot C = (ABC)_{m \times q}\\
+		\end{cases}$ $\longrightarrow$ мы доказали равенство размеров.\\
+		\newline
+		Докажем равенство элементов.\\
+
+		\newline
+
+		$(AB)_{ij} = \sum_{k = 1}^{n} a_{ik}b_{kj}$, $(AB)C_{il} = \sum_{j = 1}^{p} (AB)_{ij} \cdot c_{jl} = \sum_{l = 1}^{p}(\sum_{k = 1}^{n} a_{ik}b_{k_j}) \cdot c_{jl} = \sum_{k = 1}^{n} a_{ik} \sum_{j = 1}^{p} b_{kj}c_{jl} = \sum_{k = 1}^{n} a_{ik} \cdot (BC)_{kl} = A(BC)_{il}$
+	\end{proof}