Added some fixes

Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/12lecture.tex

@@ -162,7 +162,7 @@ \section{Элементы нелинейного анализа}
 \end{proof}
 
 \begin{definition}
-	\textit{Дифференциалом по Гато функции $F$ в точке $x_0 \in D$ по приращению $h$} называется следующее число:
+	\textit{Дифференциалом по Гато функции $F$ в точке $x_0 \in D$ по приращению $h$} называется следующее значение:
 	\[
 		DF(x_0, h) := \frac{d}{dt}F(x_0 + th)|_{t = 0}
 	\]

Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/14lecture.tex

@@ -30,7 +30,7 @@ \subsection{В пространстве $L_2(\R)$}
 \begin{reminder}
 	\textit{Пространством Шварца} $S \subset L_1(\R) \cap L_2(\R)$ называется множество бесконечно дифференциемых функций, которые вместе со всеми своими производными убывают на бесконечности быстрее любой степени:
 	\[
-		S = \{f \in C^\infty(\R) \colon \forall n \in \N_0, m \in \N\ \ f^{(n)}(x) = o(x^m),\ x \to \infty\}
+		S = \{f \in C^\infty(\R) \colon \forall n \in \N_0, m \in \N\ \ \lim_{x \to \infty} x^mf^{(n)}(x) = 0\}
 	\]
 \end{reminder}
 
@@ -79,7 +79,7 @@ \subsection{В пространстве $L_2(\R)$}
 
 \begin{proof}~
 	\begin{enumerate}
-		\item В силу уже доказанного факта, достаточно показать, что для любой $g \in S$ найдётся прообраз по преобразованию Фурье. Для этого, наоборот, посмотрим на образ:
+		\item \textcolor{red}{(по книге Колмогорова-Фомина)} В силу уже доказанного факта, достаточно показать, что для любой $g \in S$ найдётся прообраз по преобразованию Фурье. Для этого, наоборот, посмотрим на образ:
 		\[
 			f^*(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\R g(y)e^{-iyx}d\mu(y)
 		\]
@@ -95,7 +95,7 @@ \subsection{В пространстве $L_2(\R)$}
 			\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\R \int_\R f(x)\ole{\wdh{g}(y)}e^{-ixy}d\mu(x)d\mu(y) = \int_\R \ole{\wdh{g}(y)} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\R f(x)e^{-ixy}d\mu(x)d\mu(y) = (\wdh{f}, \wdh{g})
 		\end{multline*}
 
-		\item Докажем именно ту часть, что $F^2f(x) = f(-x)$. Заметим связь между прямым и обратным преобразованием Фурье:
+		\item \textcolor{red}{(от автора)} Докажем именно ту часть, что $F^2f(x) = f(-x)$. Заметим связь между прямым и обратным преобразованием Фурье:
 		\[
 			F[f]y = \wdh{f}(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\R f(x)e^{-ixy}d\mu(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\R f(x)e^{ix(-y)}d\mu(x) = \check{f}(-y)
 		\]

Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/1lecture.tex

@@ -140,15 +140,15 @@ \section{Слабая сходимость}
 \end{proof}
 
 \begin{anote}
-	В случае банахова пространства, вообще говоря, сходимость $x_n \to x$ может не следовать из $x_n \wto x$ и $\lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \|x\|$. Рассмотрим пространство $\ell_\infty$ --- ограниченные последовательности. Известно, что $\ell_\infty^* \simeq \ell_1$, причём для слабой сходимости есть эквивалентное свойство, использующее <<скалярное произведение>>:
+	В случае банахова пространства, вообще говоря, сходимость $x_n \to x$ может не следовать из $x_n \wto x$ и $\lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \|x\|$. Рассмотрим пространство $c_0$ --- сходящиеся последовательности. Известно, что $c_0^* \simeq \ell_1$, причём для слабой сходимости есть эквивалентное свойство, использующее <<скалярное произведение>>:
 	\[
 		x_n \wto x \Lolra \forall y \in \ell_1\ \ \phi_y(x_n) = \sum_{k = 1}^\infty x_n^ky_k \xrightarrow[n \to \infty]{} \sum_{k = 1}^\infty x^ky_k = \phi_y(x)
 	\]
-	Рассмотрим базис с $e_0 = (1, 1, \ldots)$ и $e_n = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots)$ (единица стоит в $n$-й позиции). Несложно понять, что $x_n = e_0 - e_n$ должен хотя бы слабо сходится к $x = e_0$, при этом $\|x_n\| = \|x\| = 1$, тем самым предел по норме $c$ уже имеется. Проверим сходимости:
+	Рассмотрим базис с $e_0 = (1, 1, \ldots)$ и $e_n = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots)$ (единица стоит в $n$-й позиции). Несложно понять, что $x_n = e_0 - e_n$ должен хотя бы слабо сходится к $x = e_0$, при этом $\|x_n\| = \|x\| = 1$, тем самым предел по норме $c_0$ уже имеется. Проверим сходимости:
 	\begin{itemize}
 		\item $|\phi_y(x) - \phi_y(x_n)| = |\phi_y(x - x_n)| = |\phi_y(e_n)| = |y_n| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$ --- слабая сходимость есть
 
-		\item $\|x - x_n\| = \|e_n\| = 1$ --- сходимости по норме $c$ нет и быть не может
+		\item $\|x - x_n\| = \|e_n\| = 1$ --- сходимости по норме $c_0$ нет и быть не может
 	\end{itemize}
 \end{anote}
 

Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/2lecture.tex

@@ -132,7 +132,7 @@
 		\[
 			\forall m \in \N\ \exists \lim_{k \to \infty} (x_m, y_k)
 		\]
-		Тогда, в силу критерия слабой сходимости, $y_k$ будет слабо сходящейся последовательностью в $L$
+		Тогда, в силу критерия слабой сходимости (смотреть замечание после него), $y_k$ будет слабо сходящейся последовательностью в $L$
 
 		\item Заметим, что из имеющейся сходимости следует слабая сходимость и во всём пространстве $H$:
 		\[

Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/7lecture.tex

@@ -85,9 +85,23 @@ \section{Самосопряжённые операторы}
 	\]
 \end{definition}
 
-\begin{exercise}
-	Если $\forall x \in H\ \ K(x) = 0$, то $A = 0$. При этом этот факт неверен, если рассмотреть $H$ над полем $\R$.
-\end{exercise}
+\begin{proposition}
+	Пусть $A \in \cL(H)$ --- произвольный оператор. Если $\forall x \in H\ \ K(x) = 0$, то $A = 0$.
+\end{proposition}
+
+\begin{note}
+	Факт выше неверен, если рассмотреть $H$ над полем $\R$.
+\end{note}
+
+\begin{proof} \textcolor{red}{(от автора)}
+	Следующий шаг сложно назвать интуитивным, но рассмотрим произвольные $x, y \in H$. Тогда $x + y, x + iy \in H$ тоже. Запишем по определению квадратичную форму для этих точек:
+	\begin{align*}
+		&{K(x + y) = (A(x + y), x + y) = \underbrace{K(x) + K(y)}_{0} + (Ax, y) + (Ay, x)}
+		\\
+		&{K(x + iy) = (A(x + iy), x + iy) = \underbrace{K(x) + K(y)}_{0} - i(Ax, y) + i(Ay, x)}
+	\end{align*}
+	Отсюда $(Ax, y) = \frac{1}{2}\big(K(x + y) + iK(x + iy)\big) = 0$. Если варьировать $y$ по всем возможным значениям, то следствие теоремы Хана-Банаха даст равенство $Ax = 0$, которое верно для любого $x \in H$.
+\end{proof}
 
 \begin{theorem}
 	При всех условиях параграфа, есть 3 утверждения:
@@ -102,10 +116,23 @@ \section{Самосопряжённые операторы}
 
 \begin{proof}~
 	\begin{enumerate}
-		\item В силу того, что скалярное произведение является эрмитовым, мы можем воспользоваться свойством перестановки аргументов:
-		\[
-			K(x) = (Ax, x) = (x, Ax) = \ole{(Ax, x)} \Lra K(x) \in \R
-		\]
+		\item Проведём доказательство в 2 стороны:
+		\begin{itemize}
+			\item[$\Ra$] Скалярное произведение эрмитово, поэтому можно воспользоваться свойством перестановки аргументов:
+			\[
+				K(x) = (Ax, x) = (x, Ax) = \ole{(Ax, x)} \Ra K(x) \in \R
+			\]
+
+			\item[$\La$] Аналогично первому пункту, имеем
+			\[
+				K(x) = (Ax, x) = \ole{(Ax, x)} = (x, Ax)
+			\]
+			В то же время, $(Ax, x) = (x, A^*x)$ по определению. Стало быть, квадратичная форма для $A - A^*$ нулевая:
+			\[
+				\forall x \in H\ \ ((A - A*)x, x) = \ole{(x, (A - A^*)x)} = \ole{(x, Ax) - (x, A^*x)} = 0
+			\]
+			По доказанному утверждению, это возможно лишь в том случае, когда $A - A^* = 0$, что и требовалось.
+		\end{itemize}
 
 		\item Пусть $Av = \lambda v$. Тогда
 		\[