Fixed the proof

Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/7lecture.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 \begin{definition}
 	Пространство $E$ называется \textit{линейным нормированным}, если выполнено 2 условия:
 	\begin{enumerate}
-		\item $E$ --- линейное пространство над $K$
+		\item $E$ --- линейное пространство над $\K$
 
 		\item В пространстве $E$ существует \textit{оператор нормы} $\|\cdot\| \colon E \to \R_+$. Он удовлетворяет следующим условиям:
 		\begin{enumerate}

Lectures/5_Semester/Functional_Analysis/2023_Konovalov/lectures/9lecture.tex

@@ -126,55 +126,45 @@ \section{Линейные ограниченные (непрерывные) оп
 \end{proof}
 
 \begin{definition}
-	Оператор $A \colon E_1 \to E_2$ называется \textit{ограниченным}, если образ любого ограниченного множества из $E_1$ тоже является ограниченным в $E_2$:
+	Оператор $A \colon E_1 \to E_2$ называется \textit{ограниченным}, если образ любого ограниченного множества из $E_1$ является ограниченным в $E_2$:
 	\[
 		\forall S \subseteq E_1 \text{ --- ограниченное }\ A(S) \subseteq E_2 \text{ --- тоже ограниченное}
 	\]
 \end{definition}
 
 \begin{proposition}
-	Оператор $A \colon E_1 \to E_2$ ограничен тогда и только тогда, когда:
-	\[
-		\exists K \in \K \such \forall x \in E_1\ \ \|Ax\| \le K\|x\|
-	\]
+	Пусть $A \colon E_1 \to E_2$ --- линейный оператор. Тогда следующие свойства эквивалентны:
+	\begin{enumerate}
+		\item $A$ ограничен
+
+		\item $\exists K \ge 0 \such \forall x \in E_1\ \ \|Ax\| \le K\|x\|$
+
+		\item $\exists K \ge 0 \such \forall x \in S(0, 1)\ \ \|Ax\| \le K$
+	\end{enumerate}
 \end{proposition}
 
 \begin{proof}~
 	\begin{itemize}
-		\item[$\Ra$] Предположим противное (исключили 0, ибо всегда $A0 = 0$):
+		\item[$2 \Lra 3$] Так как $A0 = 0$, то можно исключить его из условия:
 		\[
-			\forall K \in \K\ \exists x \in E_1 \bs \{0\} \such \|Ax\| > K\|x\|
+			\exists K \ge 0 \such \forall x \in E_1 \bs \{0\}\ \ \|Ax\| \le K\|x\|
 		\]
-		Перепишем это свойство в эквивалентном виде:
+		В силу линейности и того, что $\|x\| \neq 0$, мы можем внести норму $\|x\|$ под норму слева, и даже внутрь аргумента по линейности:
 		\[
-			\forall K \in \K\ \exists x \in E_1 \bs \{0\} \such \no{A\frac{x}{\|x\|}} > K
+			\exists K \ge 0 \such \forall x \in E_1 \bs \{0\}\ \ \no{A\frac{x}{\|x\|}} \le K
 		\]
-		Теперь аргумент оператора --- это единичный вектор $y = \frac{x}{\|x\|}$. Запустим итерационный метод с $K_n = n$, тем самым мы получим последовательность $\{y_n\}_{n = 1}^\infty \subseteq S(0, 1)$. Единичная сфера $S(0, 1)$ ограничена по определению, а значит её образ должен быть тоже ограничен, но это противоречит $\|Ay_n\| > n$.
+		Теперь аргумент оператора --- это единичный вектор $y = \frac{x}{\|x\|}$. Замена обозначений приводит к третьему условию.
 
-		\item[$\La$] Если $S \subset E_1$ --- ограниченное множество, то по определению
+		\item[$1 \La 2$] Пусть $S \subseteq E_1$ --- ограниченное множество. По определению:
 		\[
 			\exists M > 0 \such \forall x \in S\ \ \|x\| \le M
 		\]
-		В силу условия на оператор, получаем аналогичное утверждение:
+		В силу условия, можно записать следующее:
 		\[
-			\exists M > 0, K \in \K \such \forall x \in S\ \ \|Ax\| \le K\|x\| \le KM
+			\exists M > 0, K \ge 0 \such \forall x \in S\ \ \|Ax\| \le K\|x\| \le KM
 		\]
-		Это в точности означает ограниченность образа $S$.
+		Это по определению означает ограниченность образа $S$.
+
+		\item[$1 \Ra 3$] Единичная сфера является ограниченным множеством по определению. Стало быть, её образ тоже должен быть ограниченным, а это в точности соответствует третьему условию.
 	\end{itemize}
-\end{proof}
-
-\begin{proposition}
-	Ограниченность линейного оператора $A$ необходимо и достаточно изучать на единичной сфере. Иначе говоря, такое свойство эквивалентно определению:
-	\[
-		\exists K \in \K \such \forall y \in S(0, 1)\ \ \|Ay\| \le K
-	\]
-	где $S$ от слова $Sphere$, $S(x, r) := \{y \in E_1 \colon \rho(x, y) = r\}$.
-\end{proposition}
-
-\begin{proof}
-	Заметим, что в определении можно отказаться от рассмотрения $x = 0$, ибо $A0 = 0$ всегда. Тогда, так как оператор $A$ линеен, то верна эквивалентность:
-	\[
-		\forall x \in E_1 \bs \{0\}\quad \|Ax\| \le K\|x\| \Lra \no{\frac{Ax}{\|x\|}} \le K \Lra \no{A\frac{x}{\|x\|}} \le K
-	\]
-	При этом $y := \frac{x}{\|x\|}$, $\|y\| = 1$.
 \end{proof}