Even more fixes

Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/10lecture.tex

@@ -17,7 +17,7 @@ \subsection*{Собственные значения компактных опе
 	\[
 		\lim_{k \to \infty} \lambda x_{n_k} = y \Lra \lim_{k \to \infty} x_{n_k} = \frac{1}{\lambda}y
 	\]
-	Однако, это ещё не всё. Нам также нужно показать, что $y \in \ker A_\lambda$ --- принадлежит рассматриваемому подпространству. Для этого мы применим оператор $A$ к обеим частям предела (в его силу непрерывности):
+	Однако, это ещё не всё. Нам также нужно показать, что $y \in \ker A_\lambda$ --- принадлежит рассматриваемому подпространству. Для этого мы применим оператор $A$ к обеим частям предела (в силу его непрерывности, предел можно вынести):
 	\[
 		\lim_{k \to \infty} Ax_{n_k} = y = \frac{1}{\lambda} Ay \Lra Ay = \lambda y \Lra y \in \ker A_\lambda
 	\]

Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/13lecture.tex

@@ -56,7 +56,7 @@ \subsection{В пространстве $L_1(\R)$}
 \begin{proposition} (формула умножения)
 	Пусть $f, g \in L_1(\R)$, тогда
 	\[
-		\int_Y f(y)\wdh{g}(y)d\mu(y) = \int_Y \wdh{f}(y)g(y)d\mu(y)
+		\int_\R f(y)\wdh{g}(y)d\mu(y) = \int_\R \wdh{f}(y)g(y)d\mu(y)
 	\]
 \end{proposition}
 
@@ -71,13 +71,13 @@ \subsection{В пространстве $L_1(\R)$}
 \begin{proof}
 	Распишем преобразование Фурье по определению:
 	\[
-		\int_Y f(y)\wdh{g}(y)d\mu(y) = \int_Y \int_\R f(y)g(x)e^{-ixy}d\mu(x)d\mu(y)
+		\int_\R f(y)\wdh{g}(y)d\mu(y) = \int_\R \int_\R f(y)g(x)e^{-ixy}d\mu(x)d\mu(y)
 	\]
 	Покажем, что мы можем переставить интегралы (по следствию теоремы Фубини). Для этого оценим повторный интеграл:
 	\begin{multline*}
-		\int_Y \int_\R |f(y)g(x)e^{-ixy}|d\mu(x)d\mu(y) = \int_Y \int_\R |f(y)g(x)|d\mu(x)d\mu(y) \le
+		\int_\R \int_\R |f(y)g(x)e^{-ixy}|d\mu(x)d\mu(y) = \int_\R \int_\R |f(y)g(x)|d\mu(x)d\mu(y) \le
 		\\
-		\|g\|_1\int_Y |f(y)|d\mu(y) \le \|f\|_1\|g\|_1
+		\|g\|_1\int_\R |f(y)|d\mu(y) \le \|f\|_1\|g\|_1
 	\end{multline*}
 	Дальнейшие рассуждения тривиальны --- собрать внутренний интеграл в преобразование Фурье $f$.
 \end{proof}

Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/14lecture.tex

@@ -24,7 +24,7 @@
 \subsection{В пространстве $L_2(\R)$}
 
 \begin{note}
-	До этого момента мы рассмтривали преобразование Фурье в \textit{ассимметричной форме} (коэффициенты перед интегралами разные). Далее нам крайне важно перейти от этого варианта к симметричному, то есть теперь и в прямом, и в обратном преобразовании Фурье будет записан коэффициент $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ перед интегралом.
+	До этого момента мы рассматривали преобразование Фурье в \textit{ассимметричной форме} (коэффициенты перед интегралами разные). Далее нам крайне важно перейти от этого варианта к симметричному, то есть теперь и в прямом, и в обратном преобразовании Фурье будет записан коэффициент $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ перед интегралом.
 \end{note}
 
 \begin{reminder}
@@ -35,7 +35,7 @@ \subsection{В пространстве $L_2(\R)$}
 \end{reminder}
 
 \begin{proposition} \textcolor{red}{(не по лектору)}
-	Если пространство Шварца инвариантно относительно преобразования Фурье.
+	Пространство Шварца инвариантно относительно преобразования Фурье.
 \end{proposition}
 
 \begin{reminder} \textcolor{red}{(не по лектору)}

Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/5lecture.tex

@@ -56,7 +56,7 @@
 	\end{proof}
 
 
-	\begin{lemma}
+	\begin{lemma} \label{op_bot_bounded_im}
 		Пусть $B \in \cL(H)$ и $B$ ограничен снизу. Тогда $\cl(\im B) = \im B$.
 	\end{lemma}
 

Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/6lecture.tex

@@ -96,7 +96,7 @@ \section{Спектр. Резольвента}
 	\]
 	Отсюда можно вернуться к оценке и уже работать чисто с рядом (напомню, что $\|\Delta B\| = |\Delta \lambda|$):
 	\begin{multline*}
-		\|(B + \Delta B)^{-1} - B^{-1}\| = \no{\sum_{k = 1}^\infty (-1)^k(B^{-1}\Delta B)^kB^{-1}} \le \sum_{k = 1}^\infty \|B^{-1}\|^{k + 1}\|\Delta B\|^k =
+		\|(B + \Delta B)^{-1} - B^{-1}\| = \no{\sum_{k = 1}^\infty (-1)^k(B^{-1}\Delta B)^kB^{-1}} \le
 		\\
 		\|B^{-1}\|\sum_{k = 1}^\infty (\|B^{-1}\| \cdot \|\Delta B\|)^k = \|B^{-1}\| \cdot \frac{\|B^{-1}\| \cdot \|\Delta B\|}{1 - \|B^{-1}\| \cdot \|\Delta B\|} \xrightarrow[\Delta \lambda \to 0]{} 0
 	\end{multline*}

Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/7lecture.tex

@@ -32,7 +32,7 @@
 	\]
 	В силу последнего доказанного утверждения, мы можем связать $r(A)$ с $r(A^n)$ следующим образом:
 	\[
-		r(A^n) = \sup_{\mu \in \sigma(A^n)} |\mu| \ge \sup_{\lambda \in \sigma(A)} |\lambda^n| \ge r(A)^n
+		r(A^n) = \sup_{\mu \in \sigma(A^n)} |\mu| \ge \sup_{\lambda \in \sigma(A)} |\lambda^n| = r(A)^n
 	\]
 	Стало быть, $r(A) \le \sqrt[n]{r(A^n)}$. При этом, по утверждению \ref{prop10_for_radius} имеем $r(A^n) \le \|A^n\|$. Получилось, что верхний предел не превосходит любого элемента последовательности $\sqrt[n]{\|A^n\|}$, а это означает, что он не превосходит их  нижнего предела. Такое возможно только тогда, когда существует просто предел.
 \end{proof}
@@ -140,27 +140,23 @@ \section{Самосопряжённые операторы}
 \end{proof}
 
 \begin{theorem} (Критерий принадлежности спектру самосопряжённого оператора)
-	\[
-		\lambda \in \rho(A) \Lra A_\lambda \text{ --- ограниченный снизу, то есть } \exists m > 0\ \forall x \in H \colon \|A_\lambda x\| \ge m\|x\|
-	\]
+	\begin{enumerate}
+		\item $\lambda \in \rho(A) \Lra A_\lambda \text{ --- ограниченный снизу, то есть } \exists m > 0\ \forall x \in H \colon \|A_\lambda x\| \ge m\|x\|$
+
+		\item $\lambda \in \sigma(A) \Lra \exists x_n \in H \such \|x_n\| = 1 \wedge \lim_{n \to \infty} \|A_\lambda x_n\| = 0$
+	\end{enumerate}
 \end{theorem}
 
-\begin{note}
-	У теоремы есть эквивалентная формулировка:
-	\[
-		\lambda \in \sigma(A) \Lra \exists \{x_n\}_{n = 1}^\infty \colon \|x_n\| = 1 \wedge \|A_\lambda x_n\| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0
-	\]
-\end{note}
-
-\begin{proof}~
+\begin{proof}
+	Второй пункт --- тривиальное отрицание обеих частей первого. Поэтому, доказывать будем только первую эквивалентность:
 	\begin{itemize}
 		\item[$\Ra$] Раз $\lambda \in \rho(A)$, то $A_\lambda$ обратим, а значит биективен. По теореме \ref{reverse_op_crit} всё сразу доказано.
 
 		\item[$\La$] По той же теореме, $A_\lambda$ должен быть непрерывно обратим. Более того, $\ker A_\lambda = \{0\}$, а в силу разложения пространства имеем следующее:
 		\[
 			\cl(\im A_\lambda) \oplus \ker A_\lambda = H = \cl(\im A_\lambda)
 		\]
-		А в силу леммы \ref{conj_op_bot_bounded_lemma} имеем $\im A_\lambda = \cl(\im A_\lambda) = H$.
+		Также по лемме \ref{op_bot_bounded_im} имеем $\im A_\lambda = \cl(\im A_\lambda) = H$.
 	\end{itemize}
 \end{proof}
 

Lectures/6_Semester/Functional_Analysis/2024_Konovalov/lectures/8lecture.tex

@@ -68,7 +68,7 @@
 		\]
 		Также из определения $m_+$ следует, что $A_{m_+}$ --- отрицательно полуопределенный оператор. Так как неравенство КБШ справедливо для скалярных произведений, порождённых положительными полуопределёнными операторами, то перейдём к $B = -A_{m_+}$. Чтобы получить требуемое, нам достаточно показать предел $\lim_{n \to \infty} Bx_n = 0$. Запишем четвёртую степень нормы следующим образом:
 		\[
-			\|Bx_n\|^2 = |(x_n, Bx_n)_B|^2 \le |(x_n, x_n)_B| \cdot |(Bx_n, Bx_n)_B| = |(Bx_n, x_n)| \cdot |(B^2x_n, Bx_n)|
+			\|Bx_n\|^4 = |(x_n, Bx_n)_B|^2 \le |(x_n, x_n)_B| \cdot |(Bx_n, Bx_n)_B| = |(Bx_n, x_n)| \cdot |(B^2x_n, Bx_n)|
 		\]
 		Первый сомножитель стремится к нулю, а второй ограничен:
 		\[