Progress lecture 3.

Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/lectures/lecture2.tex

@@ -327,4 +327,4 @@ \section{Степенные ряды и элементарные функции}
 	$\cos(z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$, $\sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$.
 \end{definition}
 
-{\color{red} Определение натурального логарифма комплексного числа.}
+{\color{red} Определение натурального логарифма комплексного числа. Вычисление производных.}

Lectures/5_Semester/TFCV/2023_Lysov/lectures/lecture3.tex

@@ -2,6 +2,8 @@
 
 \section{Интегрирование}
 
+На лекции по ТФКП мы не определяли снова, что такое кривая. Дальше идет напоминание материала первого курса матана.
+
 \begin{definition}
 	Пусть $\alpha, \beta \in \R$, $\alpha \leq \beta$, $z: [\alpha, \beta] \to \Cm$, $(\forall t \in [\alpha, \beta]) \,\, z = x(t) + i y(t)$, $x$ и $y$ непрерывны; $z$ называется \it{параметризацией кривой}. (Модифицировано автором.)
 \end{definition}
@@ -15,7 +17,7 @@ \section{Интегрирование}
 \end{anote}
 
 \begin{definition}
-	Класс эквивалентности параметризаций кривых по определенному отношению эквивалентности называется кривой.
+	Класс эквивалентности параметризаций кривых по определенному выше отношению эквивалентности называется кривой.
 \end{definition}
 
 \begin{anote}
@@ -25,3 +27,72 @@ \section{Интегрирование}
 \begin{definition}
 	Пусть $z: [\alpha, \beta] \to \Cm$, $z$ -- параметризация кривой; \it{образом кривой} называется $z([\alpha, \beta])$.
 \end{definition}
+
+Дальше идет материал лекции.
+
+{\color{red} Сказать, что такое минус кривая: это обход её в другом направлении, разворот параметризации; возможно, у нас на лекции кривые ориентированные были, в отношении эквивалентности должны быть неубывающие непрерывные. Определялось ли на матане это -- не знаю. }.
+
+Пусть $D$ -- область в $\Cm$; $z: [\alpha, \beta] \to \Cm$, $z$ -- параметризация кривой $\gamma$, $\gamma \in \Cm$ (прим. автора: подразумевается, что образ кривой лежит в области; кривую считаем в том числе и множеством точек); $f: D \to \Cm$, $f$ непрерывна в $D$, $f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)$ для любых $x, y \in \R$.
+
+Возьмём разбиение $P = (t_0, \ldots, t_n)$ отрезка $[\alpha, \beta]$ (прим. автора: разбиение определяли на матане, во втором семестре; $t_0 = \alpha$, $t_n = \beta$, $\jleft( \forall k \in \ol{1, n} \jright) \,\, t_{k - 1} < t_k$; в разбиении скобочки, потому что порядок точек важен). Рассмотрим интегральную сумму.
+\[
+	\begin{aligned}
+		S(f, P) = & && \sum_{k = 1}^n \underbrace{f(z(t_k))}_{(u+iv)(z(t_k))} \underbrace{\jleft( z(t_k) - z(t_{k - 1}) \jright)}_{\Delta x_k + i \Delta y_k} = \\
+		& && \sum_{k = 1}^n \jleft[ u(z(t_k)) \Delta x_k - v(z(t_k)) \Delta y_k \jright] + \\
+		& i && \sum_{k = 1}^n \jleft[ u(z(t_k)) \Delta y_k + v(z(t_k)) \Delta x_k \jright].
+	\end{aligned}
+\]
+(Прим. автора: по ходу дела ввели приращения параметризации по $x$ и по $y$, вещественной и мнимой частям.) Устремим к нулю мелкость дробления $\Delta P$, получим интеграл по кривой.
+
+\begin{definition}[интеграл от функции по кривой]
+	Интегралом от функции $f$ по кривой $\gamma$ называется $\int_\gamma f(z) dz = \lim_{\Delta(P) \to 0} S(f, P)$.
+\end{definition}
+\begin{note}
+	При выполнении предположений выше, интеграл всегда существует и
+	\[
+		\int_\gamma f(z) dz = \int_\gamma (u dx - v dy) + i \int_\gamma (v dx + u dy).
+	\]
+\end{note}
+\begin{anote}
+	Перед нами криволинейные интегралы второго рода (здесь мы пользуемся тем, что $\Cm = \R^2$, но с доопределённым умножением). Мы определяли их в третьем семестре матана аналогично криволинейным интегралам первого рода (в интегралах первого рода функции и кривые в трехмерном пространстве). Кому интересно, это страница 67 конспекта КТЛ лекций А. Л. Лукашова за осень 2022-2023 учебного года.
+\end{anote}
+
+Рассмотрим ещё другую сумму, теперь домножаем на модуль приращения параметризации.
+\[
+	\begin{aligned}
+		S'(f, P) = & && \sum_{k = 1}^n \underbrace{f(z(t_k))}_{(u+iv)(z(t_k))} \mds{ z(t_k) - z(t_{k - 1})}\\
+		= & && \sum_{k = 1}^n \underbrace{f(z(t_k))}_{(u+iv)(z(t_k))} \mds{\Delta z(t_k)}.
+	\end{aligned}
+\]
+При $\Delta P$ стремящемуся к нулю $S'(f, P)$ стремится к интегралу $\int_\gamma f(z) \mds{dz}$:
+\[
+	\int_\gamma f(z) \mds{dz} = \int_\gamma u ds + i \int_\gamma v ds,
+\]
+где $ds = \sqrt{{(z_1'(t))}^2 + {(z_2'(t))}^2} dt$.
+
+\begin{anote}
+	Комбинируя всё вместе, получим:
+	\[
+		\int_\gamma f(z) \mds{dz} = \int_\alpha^\beta f(z) \sqrt{{(z_1'(t))}^2 + {(z_2'(t))}^2} dt.
+	\]
+\end{anote}
+
+{\color{red} Вот бы примеры вычисления сюда от себя добавить, но это как-нибудь потом.}
+
+\begin{note}
+	Длину кривой можно вычислить так (обозначение $\mds{\gamma}$ от автора, не с лекции):
+	\[
+		\mds{\gamma} = \int_\gamma \mds{dz}
+	\]
+\end{note}
+\begin{theorem}[свойства интеграла от функции по кривой, без доказательства]
+	Верны следующие свойства.
+	\begin{enumerate}
+		\item $\int_\gamma f dz$ и $\int_\gamma f \mds{dz}$ не зависят от параметризации.
+		\item $\int_{-\gamma} f dz = - \int_{\gamma} f dz$, $\int_\gamma f \mds{dz} = \int_{-\gamma} f \mds{dz}$.
+		\item Линейность: $\int_\gamma (af + bg) dz = a \int_\gamma f dz + b \int_\gamma g dz$.
+		\item Аддитивность: $\int_{\gamma_1 \cup \gamma_2} f dz = \int_{\gamma_1} f dz + \int_{\gamma_2} f dz$.
+		\item Неравенства: $\mds{\int_\gamma f dz} \leq \int_\gamma \mds f \mds{dz} \leq \max_{p \in \gamma} \mds{f(p)} \mds{\gamma}$.
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+