added 1sem physics

Lectures/1_Semester/General_Physics/2023_Savrov/lectures/11lecture.tex

@@ -0,0 +1,64 @@
+\section{Неинерциальные системы отсчёта}
+Запишем уравнение вынужденных колебаний:
+\[m\dot \dot x = -kx - \beta \dot x + fcos\omega t\]
+\[2\gamma = \frac{\beta}{m}\]
+\[\omega_0^2 = \frac{k}{m}\]
+Разделим уравнение вынужденных колебаний на массу и решим это уравнение в двух случаях:
+\[\omega = 0 => x = a_0 = \frac{f}{m\omega^2}\]
+\[\omega \ne 0 => x = Acos(\omega t + \delta)\]
+\[(-\omega^2 + \omega_0^2)Acos(\omega t +\delta) - 2\gamma \omega A sin(\omega t + \delta) = \frac{f}{m}cos\omega t\]
+\[(-\omega^2 + \omega_0^2)A(cos\omega tcos\delta - sin \omega t sin \delta) - 2\gamma \omega A(sin \omega t cos \delta + cos \omega t sin \delta) = \frac{f}{m}cos\omega t\]
+Что стоит справа при косинусе:
+\[cos \omega t : (-\omega^2 + \omega_0^2)Acos\delta - 2\gamma \omega A sin\delta = \frac{f}{m}\]
+\[sin \omega t: -(-\omega^2 + \omega_0^2)Asin\delta - 2\gamma \omega A cos\delta = 0\]
+A != 0, иначе случай тривиален:
+из второго уравнения, делением на $cos \delta$
+\[tg \delta = \frac{2\gamma \omega}{\omega^2 - \omega_0^2}\]
+Как выглядят наши уравнения:
+\[acos\delta - bsin\delta = c\]
+\[asin\delta + bcos\delta = 0\]
+Отсюда, если возвести оба уравнения в квадрат и сложив, мы получим:
+\[a^2 + b^2 = c^2\]
+Тогда применяя это к нашим уравнениям:
+\[A = \frac{\frac{f}{m}}{\sqrt{(\omega^2 - \omega_0^2)^2 + (2\gamma \omega)^2}}\]
+Получили амплитуду вынужденных колебаний, выведем, как она зависит от вынуждающей силы (то есть найдём амплитудно-частотную характеристику).
+Когда частота равна = 0 (то есть нет вынуждающей силы), то амплитуда равна a0, тогда сначала наша функция будет возрастать до какой-то частоты $\omega_m$, а потом убывать.
+Как можно найти это значение? Просто приравняв производную нулю:
+\[\frac{dA}{d\omega} = 0 => \omega_m = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}\]
+Будем исследовать наиболее существенный случай (то есть когда $\gamma << \omega_0$ (когда затухание много меньше чем собственная частота)
+То есть в целом мы можем считать, что максимум, достигается на собственной частоте.
+Чему же равна максимальная амплитуда?
+\[\omega_m = \omega_0\]
+\[a_m = \frac{f}{2m\gamma\omega_0} = \frac{a_0\omega_0}{2\gamma} = a_0\frac{\pi}{\gamma T_0}\]
+При этом $\gamma T_0$ - логарифмический декремент затухания, тогда это можно записать:
+\[a_m = a_0\frac{\pi}{d}\]
+При этом величина $\frac{\pi}{d}$ - это добротность, тогда отсюда:
+\[a_m = a_0Q\]
+Какой ещё смысл можно придать добротности? Найдём частоты, при которых амплитуда меньше максимальной в $\sqrt{2}$ раз. Почему так? Потому что энергия колебаний пропорциональная квадрату отклонения, подставим это значение в формулу для амплитуды и учтём, что затухания много меньше $\omega_0$, тогда получаем:
+\[\omega^2 = \omega_0^2 +- 2\gamma\omega_0 = (\omega_0 +- \gamma)^2\]
+Тогда найдём разность этих частот (при которых реализуется частота $\frac{a_m}{\sqrt{2}}$)
+\[\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 = 2\gamma = \frac{a_0\omega_0}{a_m} = \frac{\omega_0}{Q}\]
+Вот мы выразили $tg \delta$ чуть раньше, построим фазово-частотную характеристику (зависимость $\delta$ от частоты).
+$\delta$ меняется от $\frac{\pi}{2}$ до $-\frac{\pi}{2}$
+Проинтегрируем уравнение вынужденных колебаний:
+\[\dot x = \frac{f}{2m\gamma}cos\omega t\]
+\[x = \frac{f}{2m\gamma\omega} sin \omega t\]
+Внешняя сила работает против силы трения в резонансе.
+Обсудим волновое уравнение для волны, распространяющейся в одном измерении:
+s(x, t) - координата и время:
+\[\frac{\delta^2S}{\delta t^2} - c^2\frac{\delta^2S}{\delta x^2} = 0\]
+\[s(xt) = f(x - ct) + g(x + ct)\]
+Вторая функция описывает распространение волны справа налево, первая слева направо.
+Анализ столкновения двух волн:
+1) Если жёстко закрепрелена струна (в этом случае волна переворчивается)
+\[s(xt) = f(x - ct) - f(-x-ct) = 0\]
+Во втором случае - фаза не меняется при отражении:
+\[\frac{\delta S}{\delta x} = 0\]
+\[\frac{\delta S}{\delta x} = f'(x - ct) - f(-x-ct) = 0\]
+Рассмотрим движение волны:
+\[s(xt) = Acos(\omega t - kx + \delta)\]
+\[x = \frac{\omega}{k}t => \frac{\omega}{k} = c, / \omega = \frac{2\pi}{T}, / k = \frac{2\pi}{\lambda}\]
+Есть 2 скорости - фазовая и групповая.
+k - волновое число, $\lambda$ - длина волны.
+Стоячая волна - это суперпозиция двух волн, бегущих навстречу:
+\[s(xt) = Acos(\omega t - kx) + Acos(\omega t + kx) = 2Acoskxcos\omega t\]

Lectures/1_Semester/General_Physics/2023_Savrov/lectures/2lecture.tex

@@ -0,0 +1,75 @@
+\section{Закон сохранения импульса, закон сложения скоростей, уравнение Мещерского, уравнение Циолковского}
+Если вы умеете измерять положение тела как функцию времени, то вот вам и система отсчёта. Не все они эквивалентны, существуют ИСО и неИСО.
+ \newline Первый закон Ньютона: существуют ИСО, где тело движется равномерно прямолинейно в отсутсутствии действия других сил (или их действие скомпенсировано). Если существует одна система отсчёта, которая ИСО, тогда поворотом со скоростью $v_0$ можем получить множество других.
+ \newline Пусть есть тело, тогда время абсолютно (если находимся в пределах Земли) (то есть нерелятивистская механика). Пока скорость света можно считать бесконечной, время можно считать абсолютным ($t = t'$)
+ Пусть есть система К и К', пусть система K' движется со скоростью $v_0$ 
+ тогда:
+ \[ \Vec{r'}= \Vec{r} - \Vec{v_0}t\]
+ \[\Vec{v'} = \Vec{v} - \Vec{v_0} \rightarrow \Vec{v} = \Vec{v_0} + \Vec{v'}\]
+ $v_0$ - скорость системы отсчёта K' относительно лабораторной СО, $v$ - скорость тела относительно лабораторной СО, $v'$ - скорость тела относительно системы отсчёта K'.
+ \newline Получили закон сложения скоростей (принцип относительности Галиллея).
+ \newline Полностью реализовать ИСО - нельзя, поскольку даже аудитория находится на Земле, которое вращается вокруг своей оси, а она вокруг Солнца, а Солнце вокруг всего остального.
+ Их нельзя назвать ИСО, но поскольку влияние чрезвычайно мало, то мы можем считать их ИСО. 
+ ИСО - идеализация
+ \newline Переходим к динамике:
+ Импульс - количество движения. 
+ \[\vec{p} = m\vec{v}, \ (v << c)\]
+ Чем больше масса, тем труднее изменить состояние движения тела. При выстреле из ружья: ружьё тяжелое, а пуля легкая, поэтому пуля летит очень быстро)
+ \newline $\Vec{p'} = \Vec{p} - m\Vec{v_0}$ (при изменении системы отсчёта).
+ \newline Понятие силы:
+ 2 закон Ньютона:
+ \[\Vec{F} = \frac{d\Vec{p}}{dt}\]
+ $\Vec{F} = \frac{d\Vec{p}}{dt} = \frac{d\Vec{p'}}{dt}$ (от системы отсчёта не зависит). Силы не отличаются в разных ИСО.
+ \newline Примеры сил:
+ \newline Сила упругости: $\Vec{F}_l = -k\Vec{x}$ - сила возвращающая
+ \newline Сила трения: $|F_{тр}| <= \mu \vec{N}$
+ \newline $\Vec{F_v} = -\gamma * \Vec{v}$ - сила сопротивления.
+ \newline $\Vec{F} = m\Vec{g}$ - сила тяжести.
+ \newline Равнодействующая сила:
+ \[\Vec{F} = \sum\limits_{i=1}^n \Vec{F_i}\]
+ \newline Третий закон Ньютона:
+ \[\Vec{F_{12}} + \Vec{F_{21}} = \Vec{0}\]
+ Это 2 силы, но действуют они по прямой линии. Силы всегда появляются парами! 
+ \newline Из 3 закона Ньютона можно получить закон сохранения импульса.
+ \newline Рассмотрим замкнутую систему, то есть все внешние силы (действующие снаружи на эту систему) либо скомпенсированы, либо незначительны. 
+ \newline Пусть тело $i$ действует на другие с силой $\vec{F_{ki}}$, тогда:
+ \[ \frac{d\vec{p_i}}{dt} = \sum\limits_{k = 1}^n \Vec{F_{ki}}\]
+ \[ \frac{d\sum\limits_{i = 1}^n \Vec{p_i}}{dt} = \sum\limits_{i = 1}^n\sum\limits_{k = 1}^n \Vec{'F_{ki}} = \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^n\sum\limits_{k = 1}^n (\Vec{F_{ik}} + \Vec{F_{ki}}) = \Vec{0}, \ i \neq k\] \[ \sum\limits_{i = 1}^n\sum\limits_{k = 1}^n \Vec{'F_{ki}} = \sum\limits_{k = 1}^n\sum\limits_{i = 1}^n = \Vec{'F_{ik}} = \sum\limits_{i = 1}^n\sum\limits_{k = 1}^n \Vec{'F_{ik}}\]
+ \[\frac{d\sum\limits_{i = 1}^n \Vec{p_i}}{dt} = \Vec{0} \rightarrow \sum\limits_{i=1}^n \vec{p_i} = const\]
+ Это и есть закон сохранения импульса (ЗСИ).
+ Все тела взаимодействуют друг с другом, но их силы компенсируются по третьему закону Ньютона. 
+ Закон сохранения импульса более общий, чем механика Ньютона. 
+ В момент времени t, мы знаем координаты и импульс тел.
+ \newline 
+ Основная задача механики:
+ \[(x_i, p_i)_{t = 0} \rightarrow (x_i, p_i)_t\]
+ где t - любое.
+ \newline В общем случае мы хотим решать следующую систему:
+ \begin{equation}
+     \begin{cases}
+         \dot \vec{p} = F_i(x_1, x_2, ..., x_n; p_1, ..., p_n, t)
+         \\
+         \dot x_i = \frac{p_i}{m_i}
+     \end{cases}
+ \end{equation}
+ \newline Рассмотрим колебательную сис-му.
+ Тело на пружине, вклад пружины - возврат тела $\vec{F} = -k * \vec{x}$
+ \[\frac{d\vec{p}}{dt} = -k\vec{x}, \ \frac{dx}{dt} = \frac{\vec{p}}{m} \rightarrow \frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m} * x = -\omega^2 * x\]
+ Решив эту уравнение, получим: $x(t) = Acos\omega t + Bsin\omega t$
+ \newline Найти константы A, B можно: 
+ \[x(0) = A = x_0, \ \frac{dx}{dt} = -\omega Asin\omega t + \omega Bcos\omega t, \ \dot x(0) = \omega B = v_0, \ B = v_0/\omega\]
+ Итого получаем:
+ \[x(t) = x_0cos\omega t + \frac{V_0}{\omega}sin\omega t\]
+ Выведем уравнение движения ракеты.
+ \newline Рассмотрим ракету, она летит со скоростью $\vec{v}$, пусть из неё вылетело часть вещества $-dm$ (приращение массы - отрицательное число), вылетает со скоростью $\vec{u}$ относительно ракеты, введём ось x вдоль скорости движения ракеты:
+ \[d(m\vec{v}) + (-dm)(\vec{v} + \vec{u}) = \vec{F}dt\]
+ \[dm\vec{v} + md\vec{v} - dm\vec{v} - dm\vec{u} = \vec{F}dt\]
+ Получаем уравнение Мещерского:
+ \[m\frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{F} + \frac{dm}{dt}\vec{u}\]
+ Где F:
+ \[\vec{F} = m\vec{g} + \vec{F_c}\]
+ После преобразований:
+ \[md\vec{v} = -dm\vec{u}\]
+ \[\frac{dm}{m} = - \frac{d\vec{v}}{\vec{u}} \rightarrow ln(m) = -\frac{\vec{v}}{\vec{u}} + const\]
+ Из этого получаем уравнение Циолковского:
+ \[m = m_0 * e^{-\frac{\vec{v} + \vec{g}t}{\vec{u}}}\]

Lectures/1_Semester/General_Physics/2023_Savrov/lectures/3lecture.tex

@@ -0,0 +1,70 @@
+\section{Работа и энергия}
+Работа по определению:
+\[A_{12} = \int_1^2 F dr = \int F * v dt\]
+Связь кинетической энергии и работы:
+\[A_{21} = \int \frac{dp}{dt} v dt = \int v dp = m \int v dv = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2} = K_2 - K_1\]
+Закон сложения скоростей и его связь с кинетической энергией.
+\[\Vec{v} = \Vec{v'} + \Vec{v_0}\]
+    \[K = \frac{m\Vec{v^2}}{2} = \frac{m}{2}(\Vec{v'} + \Vec{v_0)^2} = \frac{m\Vec{v^2}}{2} + m\Vec{v'}\Vec{v_0} + \frac{m\Vec{v_0^2}}{2} = K' + \beta'\Vec{v_0} + \frac{m\Vec{v_0^2}}{2} \]
+    Все силы можно разделить на консервативные и неконсервативные.
+    Консервативные силы (их работа не зависит от пути), все остальные - неконсервативные.
+    Примеры
+    \newline Сила тяжести:
+    \[A_{21} = m \int_1^2 \Vec{g} d\Vec{r} = -mg \int_1^2 dh = -mg(h_2 - h_1)\]
+    Вот так можно посчитать работу силы тяжести.
+    \[A_{21} = \int_1^2 f(r) \frac{\Vec{r}}{r} d\Vec{r} = \int_1^2 f(r) dr = - [u(r_2) - u(r_1)]\]
+    Неконсервативные силы, примеры:
+    Сила трения
+    \[ \Vec{F} = -\gamma(v)\Vec{v} \]
+    В общем виде нельзя найти её первообразную, поэтому она неконсервативная.
+    Для консервативной энергии вводится потенциальная энергия. 
+    \[A_{21} = -[u(\Vec{r_2}) - u(\Vec{r_1})]\]
+    Для консервативных сил работа, совершаемая ими равна разнице потенциальных энергий.
+    Потенциальная энергия вводится с точностью до константы.
+    Мы можем определить силу в любой точке, если знаем её потенциальную энергию и координаты.
+    \[\Vec{F}d\Vec{r} = - du \]
+    В случае если у нас фиксированны другие координаты, то мы можем посчитать консервативную силу так.
+    \[F_x = - (\frac{du}{dx})_{yz}\]
+    Рассмотрим случай шарика на пружинке:
+    \newline Изменение происходит только вверх-вниз, то другие координаты не влияют:
+    \[u = \frac{k\Vec{r^2}}{2} => F_x = -\frac{d}{dx}(\frac{kx^2}{2}) = -kx => \Vec{F} = -k\Vec{r}\]
+    Мы смогли определить силу, что и хотели посмотреть.
+    \newline Посмотрим, что происходит для гравитационной силы.
+    \[u = -G \frac{Mm}{r}\]
+    \[F_x = -GMm \frac{d}{dx} \frac{1}{r} = -GMm \frac{d}{dx} \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = -GMm \frac{2x}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\]
+    \[-GMm \frac{2x}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{GMmx}{r^3} = \frac{GMm}{r^2} \frac{x}{r}\]
+    Получаем силу ($\frac{GMm}{r^2}$) и направление ($\frac{x}{r}$).
+    Закон сохранения энергии:
+    \[A_{21} = K_2 - K_1 = - (u_2 - u_1) => K + U = E = const\]
+    Вводится только для консервативных сил (работу которых можно посчитать).
+    Верно для системы тел:
+    \[E = \sum_i K_i + u(\Vec{x_1}, \Vec{x_2}, ... , \Vec{x_N})\]
+    Например, для гравитационной силы и множества тел:
+    \[-\sum_{i<j} \frac{Gm_im_j}{|r_i - r_j|}\]
+    Запишем дифференциал ЗСЭ:
+    \[dE = \sum_i[\Vec{v_i} * d\Vec{p_i} + d\Vec{r_i} * \frac{du}{d\vec{r_i}}] = dt \sum_i \Vec{v_i}[\dot \Vec{p_i} + \frac{du}{d\Vec{r_i}}] = 0\]
+    Таким образом, мы получаем, что в замкнутой системе, где действуют только консервативные силы, выполняется закон сохранения энергии.
+    \newline Центр масс
+    \newline Для системы точек, центр масс будет определяться, как:
+    \[ \Vec{r_{cm}} = \frac{1}{M} \sum_i m_i\vec{r_i} \]
+    Если продифференцируем, то получим скорость ЦМ.
+    \[\Vec{v_{cm}} = \frac{1}{M} \sum_i m_i \Vec{v_i} = \frac{1}{M} \sum_i \Vec{p_i}\]
+    Запишем 2ЗН для центра масс:
+    \[M\dot\vec{v_{cm}} = \sum_i \vec{F_i} = \sum_i (\sum_k '\Vec{f_{ki}} + \Vec{f_i}) = \sum_i \Vec{f_i} = \Vec{F} \]
+    Получаем закон движения центра масс (то есть, что ускорение ЦМ на суммарную массу = сумме всех сил)
+    \newline Теорема Кёнига
+    \newline Сопутствующая система - инерциальная система, которая в данный момент движется с такой же скоростью, как и центр масс.
+    Посмотрим на скорость i-го тела в такой системе:
+    \[K_i = K_{icm} + \frac{m_i\Vec{v_{cm}^2}}{2} + \Vec{p_{icm} \Vec{v_{cm}}}\]
+    Просуммируем по всем i:
+    \[K = \sum_i K_i = K_{cm} + \frac{M\Vec{v_{cm}^2}}{2}\]
+    Кинетическая тела в лабораторной системе = кинетическая энергия движения тела относительно центра масс + кинетическая энергия центра масс - это и есть теорема Кёнига.
+    \newline
+    Задача двух тел
+    \[m_1\Vec{v_1} = \Vec{F_{21}}\]
+    \[m_2\Vec{v_2} = \Vec{F_{12}}\]
+    \[\frac{d}{dt}(m_1\Vec{v_1} + m_2\Vec{v_2}) = 0 => \Vec{v_{cm}} = \frac{m_1\Vec{v_1} + m_2\Vec{v_2}}{m_1 + m_2}\]
+    \[\frac{d}{dt} (\Vec{v_1} - \Vec{v_2}) = (\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2})\Vec{F_{21}} = \frac{m_1 + m_2}{m_1m_2}\vec{F_{21}}\]
+    \[\Vec{V'} = \Vec{v_1} - \Vec{v_2}\]
+    \[\mu = \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}\]
+    \[\mu \dot \Vec{v'} = \vec{F_{21}}\]