add inclusive-exclusive example

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 本文收集一些经典的概率问题。
 
-## 例1: 错排问题
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-> 假设有 N 位男士参加舞会，所有人都将帽子扔到房间中央混在一起，然后每人再随机拿一顶帽子，所有人都拿到别人帽子的概率是多少？
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-该题并不能简单利用排列组合或者条件概率求解。可以有两种思路解答，即：
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-1. 容斥恒等式（inclusion-exclusion identity）
-2. 得出递推公式
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-### 容斥恒等式
+## 容斥恒等式（inclusion-exclusion identity）
 
 容斥恒等式用于解决多个相交集合取并集的问题。它的数学定义是：
 
@@ -25,18 +16,24 @@ $$ P(E_1 \cup E_2 \cup \cdots \cup E_n) = \sum_{i=1}^n P(E_i) - \sum_{i_1 < i_2}
 
 图形中的数字是该区域参与计数的次数，如果我们需要取并集，期望能让每个区域只被计数一次。
 
-在本例的场景下，我们设事件 $E_i$ 为 __共有 i 个人恰好拿到自己的帽子__。注意，这个定义 __并未要求其他人不能拿到自己帽子__。我们只要算出 i = 1，2，……，N 的并集概率，再用 1.0 减去这个值，就得出了没有人拿到自己帽子的概率。
+### 例题
+
+> 例 1: 假设有 N 位男士参加舞会，所有人都将帽子扔到房间中央混在一起，然后每人再随机拿一顶帽子，所有人都拿到别人帽子的概率是多少？
 
-我们通过排列组合可以简单得到：
+该题并不能简单利用排列组合或者条件概率求解，需要利用容斥恒等式。
 
-$$ E_i = \frac{C_{N}^{i} (N-i-1)!}{N!} = \frac{1}{i!} $$
+在本例的场景下，我们设事件 $E_i$ 为 __第 i 个人恰好拿到自己的帽子__。注意，这个定义 __并未要求其他人不能拿到自己帽子__。我们只要利用容斥恒等式算出有任一个人拿对帽子的概率，再用 1.0 减去这个值，就得出了没有人拿到自己帽子的概率。但是，我们并不直接用 $E_i$，而是用 k 个人拿对自己帽子的概率进行计算。即直接得出每一个加减项的值。
 
-这里有个似乎有点反直觉的结论：$E_1 = 1.0$。这个结论是因为我们重复计算了概率，即，这个 $E_1$ 本身与其他 $E_n$ 是有交集的。
+我们通过排列组合可以得到 __至少 k 个人拿对自己帽子__ 的概率：
+
+$$ a_k = \sum P(E_{i_1}E_{i_2}\cdots E_{i_k}) = \frac{C_{N}^{k} (N-k-1)!}{N!} = \frac{1}{k!} $$
+
+这里有个似乎有点反直觉的结论：$a_1 = 1.0$。这个结论是因为我们重复计算了概率，即，这个 $a_1$ 本身与其他 $a_n$ 是有交集的。
 
 代入容斥恒等式可以得到：
 
 $$\begin{align}
-P(E_1 \cup E_2 \cup \cdots \cup E_N) &= \sum_{i=1}^{N} (-1)^{i+1} \frac{1}{i!} \\
+P(E_1 \cup E_2 \cup \cdots \cup E_N) &= \sum_{k=1}^{N} (-1)^{k+1} \frac{1}{k!} \\
 &= 1.0 - \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} - \cdots + (-1)^{N+1} \frac{1}{N!}
 \end{align}$$
 
@@ -50,6 +47,33 @@ $$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}$$
 
 当 N 足够大的时候，该式趋近于 $e^{-1} \approx 0.3679$。
 
-### 递推解法
 
-若不知道容斥不等式，我们也可以通过找到递推关系得到同样的结论。
+> 例 2: N 对夫妇随机坐成一圈，计算所有妻子都不坐在丈夫身边的概率
+
+N 对夫妇坐成随机坐一共有 $2N!$ 种排列方式，由于坐成 __一圈__，由于圆圈的对称性，初始位置其实选哪里都一样，还需要除以 $2N$，实际有 $(2N-1)!$ 种排列。
+
+同例题1，我们直接得出每一个加减项的概率。设 __至少 k 对夫妇坐在一起__ 的概率是 $a_k$。其本质是从 N 对夫妇种选取 k 对，每对夫妇视作一个整体来安排位置，类似于只有 $(2N-k)$ 个人的情况。一共有 $(2N - k - 1)!$ 种排列方式，还需考虑，这 k 对夫妇两两可以交换，还需要乘以 $2^k$，得到至少 k 对夫妇坐一起的概率是：
+
+$$\begin{align}
+a_k &= \frac{2^k C_{N}^k (2N - 1 - k)!}{(2N - 1)!}
+\end{align}$$
+
+利用容斥恒等式，得到 0 对夫妇坐一起的概率为：
+
+$$\begin{align}
+P &= 1.0 - \sum_{k=1}^N (-1)^{k+1} a_k \\
+  &= 1.0 + \sum_{k=1}^N \frac{(-2)^k C_{N}^k (2N - 1 - k)!}{(2N - 1)!}
+\end{align}$$
+
+```py
+import math
+
+def calculate_prob(N: int):
+  p = 1.0
+  for k in range(1, N + 1):
+    c_n_k = math.factorial(N) / math.factorial(N - k) / math.factorial(k)
+    p += math.pow(-2, k) * math.factorial(2 * N - 1 - k) / math.factorial(2 * N -  1) * c_n_k
+  return p
+```
+
+将 $N=10$ 输入上面程序得到 0.3395，与书本答案相同。