Теорема Ферма по материалам Кванта

Начало доказательства для случая p=7

#197

mathbook.lyx

@@ -99,6 +99,21 @@ status open
 Элементарные сведения
 \end_layout
 
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Может быть написать, как можно додуматься до таких формул? С квадратами/кубами
+ суммы/разности всё достаточно просто, а, например, с разностью квадратов
+ доказательство не сложно, но непонятно, как до такого можно додуматься
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
 \begin_layout Section
 Формулы сокращённого умножения
 \end_layout
@@ -116,6 +131,10 @@ status open
 
 \end_layout
 
+\begin_layout Subsection
+Разность квадратов
+\end_layout
+
 \begin_layout Claim
 (Формула разности квадратов):
 \begin_inset Formula 
@@ -138,6 +157,23 @@ a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\label{eq:difference-of-squares}
 \end_inset
 
 
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Квадрат суммы и разности
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Дописать про квадрат разности
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
 \end_layout
 
 \begin_layout Claim
@@ -163,6 +199,23 @@ a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\label{eq:difference-of-squares}
 \end_inset
 
 
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Куб суммы и разности
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Дописать про куб разности
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
 \end_layout
 
 \begin_layout Claim
@@ -201,6 +254,43 @@ noprefix "false"
 \end_inset
 
 
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Разность кубов
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+(Формула разности кубов):
+\begin_inset Formula 
+\[
+a^{3}-b^{3}=\left(a-b\right)\left(a^{2}+ab+b^{2}\right).
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Написать доказательство
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Раскроем скобки в правой части и приведём подобные слагаемые: 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left(a-b\right)\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)=a^{3}+a^{2}b+ab^{2}-a^{2}b-ab^{2}-b^{3}=a^{3}-b^{3}.
+\]
+
+\end_inset
+
+
 \end_layout
 
 \begin_layout Section
@@ -2687,6 +2777,126 @@ noprefix "false"
 .
 \end_layout
 
+\begin_layout Example
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Добавить замечание про то, что при 
+\begin_inset Formula $p=7$
+\end_inset
+
+ можно проверить 
+\begin_inset Formula $7$
+\end_inset
+
+ возможных остатков, но достаточно рассмотреть только 
+\begin_inset Formula $a=0,1,2,3$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Exercise
+Доказать, что при любом целом 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ выражение 
+\begin_inset Formula $a^{7}-a$
+\end_inset
+
+ делится на 
+\begin_inset Formula $7$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Доказать
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Вынесем 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ за скобки, а затем воспользуемся тождеством 
+\begin_inset Formula $a^{6}=\left(a^{3}\right)^{2}$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Сослаться на свойства степеней
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ и формулой разности квадратов 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:difference-of-squares"
+plural "false"
+caps "false"
+noprefix "false"
+
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula 
+\[
+a^{7}-a=a\left(a^{6}-1\right)=a\left(a^{3}-1\right)\left(a^{3}+1\right).
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+\begin_inset Formula 
+\[
+a^{3}-1=\left(a-1\right)\left(a^{2}+a+1\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+a^{3}+1=\left(a+1\right)\left(a^{2}-a+1\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left(a+3\right)\left(a-2\right)=a^{2}+3a-2a-6=a^{2}+a+1-7\equiv a^{2}+a+1\quad\mod7.
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
 \begin_layout Chapter
 Приёмы вычисления сумм
 \end_layout