Update example

templates/config.yml

@@ -1,5 +1,7 @@
-contents:
+contents:
   - name: 图论
     directory: 图论
+  - name: 数学
+    directory: 数学
   - name: 数据结构
     directory: 数据结构

templates/图论/config.yml

@@ -1,7 +1,7 @@
-contents:
+contents:
+  - name: 流
+    directory: 流
   - name: lca
     code: lca.cpp
     code-pre: lca-pre.tex
     code-post: lca-post.tex
-  - name: 流
-    directory: 流

templates/图论/流/config.yml

@@ -1,3 +1,3 @@
-contents:
+contents:
   - name: maxFlow
     code: maxFlow.cpp

templates/数学/config.yml

@@ -0,0 +1,5 @@
+contents:
+  - name: 排列组合
+    code-pre: 排列组合-pre.tex
+  - name: 斐波那契数列
+    code-pre: 斐波那契数列-pre.tex

templates/数学/排列组合-pre.tex

@@ -0,0 +1,73 @@
+组合数的性质：
+
+\[
+\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m}\tag{1}
+\]
+
+相当于将选出的集合对全集取补集，故数值不变。（对称性）
+
+\[
+\binom{n}{k} = \frac{n}{k} \binom{n-1}{k-1}\tag{2}
+\]
+
+由定义导出的递推式。
+
+\[
+\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m}+\binom{n-1}{m-1}\tag{3}
+\]
+
+组合数的递推式（杨辉三角的公式表达）。我们可以利用这个式子，在 $O(n^2)$ 的复杂度下推导组合数。
+
+\[
+\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\cdots+\binom{n}{n}=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}=2^n\tag{4}
+\]
+
+这是二项式定理的特殊情况。取 $a=b=1$ 就得到上式。
+
+\[
+\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}=[n=0]\tag{5}
+\]
+
+二项式定理的另一种特殊情况，可取 $a=1, b=-1$。式子的特殊情况是取 $n=0$ 时答案为 $1$。
+
+\[
+\sum_{i=0}^m \binom{n}{i}\binom{m}{m-i} = \binom{m+n}{m}\ \ \ (n \geq m)\tag{6}
+\]
+
+拆组合数的式子，在处理某些数据结构题时会用到。
+
+\[
+\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}^2=\binom{2n}{n}\tag{7}
+\]
+
+这是 $(6)$ 的特殊情况，取 $n=m$ 即可。
+
+\[
+\sum_{i=0}^ni\binom{n}{i}=n2^{n-1}\tag{8}
+\]
+
+带权和的一个式子，通过对 $(3)$ 对应的多项式函数求导可以得证。
+
+\[
+\sum_{i=0}^ni^2\binom{n}{i}=n(n+1)2^{n-2}\tag{9}
+\]
+
+与上式类似，可以通过对多项式函数求导证明。
+
+\[
+\sum_{l=0}^n\binom{l}{k} = \binom{n+1}{k+1}\tag{10}
+\]
+
+通过组合分析一一考虑 $S=\{a_1, a_2, \cdots, a_{n+1}\}$ 的 $k+1$ 子集数可以得证，在恒等式证明中比较常用。
+
+\[
+\binom{n}{r}\binom{r}{k} = \binom{n}{k}\binom{n-k}{r-k}\tag{11}
+\]
+
+通过定义可以证明。
+
+\[
+\sum_{i=0}^n\binom{n-i}{i}=F_{n+1}\tag{12}
+\]
+
+其中 $F$ 是斐波那契数列。

templates/数学/斐波那契数列-pre.tex

@@ -0,0 +1,8 @@
+\begin{enumerate}
+    \item 卡西尼性质（Cassini's identity）：$F_{n-1} F_{n+1} - F_n^2 = (-1)^n$。
+    \item 附加性质：$F_{n+k} = F_k F_{n+1} + F_{k-1} F_n$。
+    \item 取上一条性质中 $k = n$，我们得到 $F_{2n} = F_n (F_{n+1} + F_{n-1})$。
+    \item 由上一条性质可以归纳证明，$\forall k\in \mathbb{N},F_n|F_{nk}$。
+    \item 上述性质可逆，即 $\forall F_a|F_b,a|b$。
+    \item GCD 性质：$(F_m, F_n) = F_{(m, n)}$。
+\end{enumerate}

templates/数据结构/config.yml

@@ -1,4 +1,4 @@
-contents:
+contents:
   - name: disjoint_set_union
     code: disjoint_set_union.cpp
   - name: fenwick-tree