Update adaptive_notch

adaptive_notch/adaptive_notch.html

@@ -5,7 +5,7 @@
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       <title>adaptive_notch</title>
 
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@@ -410,7 +410,7 @@
     <hr>
     <a href="../index.html">インデックスに戻る</a>
         <p>
-      Update: 2024-10-03
+      Update: 2024-10-18
     </p>
             <details>
       <summary translate="yes">Table of Contents</summary>
@@ -602,11 +602,7 @@ <h3 id="分析-1"><a href="#分析-1" class="header-anchor"
   aria-hidden="true">分析</a></h3>
   <p>サイン波が AM
   適応ノッチフィルタに入力されたときの挙動について分析します。</p>
-  <p>式をたてます。 <span class="math inline">\(x\)</span> と <span
-  class="math inline">\(y\)</span> は <span
-  class="math inline">\(\sin\)</span>
-  でもいいのですが、符号をそろえて楽をするために <span
-  class="math inline">\(\cos\)</span> を使っています。</p>
+  <p>式をたてます。</p>
   <p><span class="math display">\[
   \begin{aligned}
   x(t) &amp;= \cos(\omega t). &amp;&amp; \text{Input.} \\
@@ -620,6 +616,14 @@ <h3 id="分析-1"><a href="#分析-1" class="header-anchor"
   \omega_a &amp;\in [0, \pi).
   \end{aligned}
   \]</span></p>
+  <p><span class="math inline">\(x\)</span> と <span
+  class="math inline">\(y\)</span> は <span
+  class="math inline">\(\sin\)</span>
+  でもいいのですが、符号をそろえて楽をするために <span
+  class="math inline">\(\cos\)</span> を使っています。 AM
+  の式は三角関数の <a
+  href="https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities#Product-to-sum_identities">product-to-sum
+  identity</a> を使っています。</p>
   <p><span class="math inline">\(\phi\)</span> は周波数 <span
   class="math inline">\(\omega\)</span>
   でのノッチフィルタの出力の位相特性、 <span
@@ -646,7 +650,7 @@ <h3 id="分析-1"><a href="#分析-1" class="header-anchor"
   <li>カットオフ周波数の前後で <span class="math inline">\(y\)</span>
   の位相が <span class="math inline">\(\pi\)</span> 変わる。</li>
   <li><span class="math inline">\(s\)</span> は式に含まれる <span
-  class="math inline">\(- \cos(-\phi)\)</span> より、
+  class="math inline">\(\cos(-\phi)\)</span> より、
   <ul>
   <li>位相のずれが 0 なら常に正の値になる。 <span
   class="math inline">\(s \geq 0\)</span> 。</li>
@@ -840,6 +844,13 @@ <h2 id="参考文献"><a href="#参考文献" class="header-anchor"
   <h2 id="変更点"><a href="#変更点" class="header-anchor"
   aria-hidden="true">変更点</a></h2>
   <ul>
+  <li>2024/10/18
+  <ul>
+  <li>「<span class="math inline">\(s\)</span> は式に含まれる <span
+  class="math inline">\(- \cos(-\phi)\)</span> より」を「<span
+  class="math inline">\(s\)</span> は式に含まれる <span
+  class="math inline">\(\cos(-\phi)\)</span> より」に修正。</li>
+  </ul></li>
   <li>2024/10/03
   <ul>
   <li>「1 次オールパスによる改良」を「1

adaptive_notch/adaptive_notch.md

@@ -119,7 +119,7 @@ def adaptiveNotchAM(x, rho=0.99, mu=1, initialGuess=0.5):
 ### 分析
 サイン波が AM 適応ノッチフィルタに入力されたときの挙動について分析します。
 
-式をたてます。 $x$ と $y$ は $\sin$ でもいいのですが、符号をそろえて楽をするために $\cos$ を使っています。
+式をたてます。
 
 $$
 \begin{aligned}
@@ -135,6 +135,8 @@ a(t) &= -2 \cos(\omega_a(t)) = a(t - \delta_t) - 2 \mu s(t),\\
 \end{aligned}
 $$
 
+$x$ と $y$ は $\sin$ でもいいのですが、符号をそろえて楽をするために $\cos$ を使っています。 AM の式は三角関数の [product-to-sum identity](https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities#Product-to-sum_identities) を使っています。
+
 $\phi$ は周波数 $\omega$ でのノッチフィルタの出力の位相特性、 $A$ は周波数 $\omega$ でのノッチフィルタのゲインです。
 
 $$
@@ -153,7 +155,7 @@ $$
 - 適応が完了したとき、ノッチによってサイン波が消えるので `y0 = 0` となり、 `y0 * x0` も 0 。
 - 適応が完了していないとき：
   - カットオフ周波数の前後で $y$ の位相が $\pi$ 変わる。
-  - $s$ は式に含まれる $- \cos(-\phi)$ より、
+  - $s$ は式に含まれる $\cos(-\phi)$ より、
     - 位相のずれが 0 なら常に正の値になる。 $s \geq 0$ 。
     - 位相のずれが $\pi$ なら常に負の値になる。 $s \leq 0$ 。
     - 位相のずれが $0 > \phi > -\pi/2$ あるいは $-3\pi/2 > \phi > -2\pi$ の範囲なら、正の値の直流が乗る。 $\langle s \rangle > 0$ 。
@@ -268,6 +270,8 @@ a = np.clip(a - mu * w1, -2, 2)
 - [Complex Resonator](https://ccrma.stanford.edu/~jos/filters/Complex_Resonator.html)
 
 ## 変更点
+- 2024/10/18
+  - 「$s$ は式に含まれる $- \cos(-\phi)$ より」を「$s$ は式に含まれる $\cos(-\phi)$ より」に修正。
 - 2024/10/03
   - 「1 次オールパスによる改良」を「1 次オールパスによる適応ノッチフィルタ」に変更。
   - 文章の整理。